Abschluss und Häufungspunkte

11.12.2015, 15:59

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

Abschluss und Häufungspunkte

Die Aufgabe ist:

Bestimmen sie die Menge der aller Häufungspunkte von $\begin{eqnarray*} U_1(0) \end{eqnarray*}$ bezüglich dem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} <\mathbb{C}, d_2 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} U_1(0) \end{eqnarray*}$ die offene Einheitskugel bzgl. $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ ist. $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ ist die euklidische Metrik.

ich hab das ganze so gelöst:
Häufungspunkte:

$\begin{eqnarray*} U_1(0) = \{y\in \mathbb{C}|\sqrt{y_r^2 + y_i^2} < 1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H := \{y\in \mathbb{C}|\sqrt{y_r^2 + y_i^2} = 1\} \end{eqnarray*}$

damit ist die Menge meiner Häufungspunkte $\begin{eqnarray*} H \cup U_1(0) \end{eqnarray*}$ , da gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0, \forall x \in U_1 \cup H \Rightarrow U_\epsilon(x) \cap (U_1(0)\setminus \{x\}) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

und der Abschluss ist auch $\begin{eqnarray*} H \cup U_1(0) \end{eqnarray*}$

11.12.2015, 16:25

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

der zweite Teil der Aufgabe ist es nach den Häufungspunkten und dem Abschluss von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Q}, i\mathbb{Q}) \cap U_1(0) \end{eqnarray*}$ zu suchen. Ich meine es sind die gleichen, oder übersehe ich da etwas?

11.12.2015, 17:04

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt beides Freude

Freude

12.12.2015, 09:56

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Ich schaffs nur nicht schlüssig zu zeigen, dass keine isolierten Punkte existieren in beiden Fällen

12.12.2015, 10:39

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist recht leicht. Die Menge $\begin{eqnarray*} U_1 \cup H \end{eqnarray*}$ ist kompakt. Damit ist $\begin{eqnarray*} \text{dist}(x, U_1 \cup H) > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \notin U_1 \cup H \end{eqnarray*}$ . Damit findest du einen Ball, der nicht $\begin{eqnarray*} U_1 \cup H \end{eqnarray*}$ , insbesondere nicht $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ schneidet.

Edit: Oder meinst du beim zweiten zu zeigen, dass du wirklich den ganzen abgeschlossenen Ball bekommst?

12.12.2015, 10:48

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist dist und was ist ein Ball?

wir haben bisher nur mit Kugeln gearbeitet oder meinst du Kugel?

Anzeige

12.12.2015, 10:50

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim zweiten, dass ich wirklich den ganze bekomme

12.12.2015, 11:00

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls $\begin{eqnarray*} x \in U_1 \end{eqnarray*}$ , so existiert da $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ offen ist ein Ball $\begin{eqnarray*} B_r(x) \subset U_1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du nur begründen, warum $\begin{eqnarray*} B_r(x) \end{eqnarray*}$ auch rationale Paare enthalten muss.

Nun weißt du, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \subset \overline { (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1 } \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup H = \overline U_1 \subset \overline { (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1 } \subset U_1 \cup H \end{eqnarray*}$ .

12.12.2015, 11:08

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.

Ich weiß leider immer noch nicht, was ein Ball ist.

Mit dem Strich über den Mengen meinst du Abgeschlossen?

12.12.2015, 11:14

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah entschuldige. Mit dist meinte ich die Distanz, definiert als
$\begin{eqnarray*} \text{dist}(x, A) = \inf_{a \in A} d(x,a) \end{eqnarray*}$ . Ist die Distanz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zur Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Und mit Ball meine ich einfach $\begin{eqnarray*} B_r(x) = \{ y : d(x,y) < r \end{eqnarray*}$ . Wird auch Kugel oder ähnliches genannt. Bei dir ist $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ die offene Einheitskugel oder der offene Einheitsball.

Und ja, mit dem Strich meinte ich den Abschluss.

12.12.2015, 11:28

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

also $\begin{eqnarray*} U_1 \subset \overline { (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1 } \end{eqnarray*}$ gilt, weil der Ablschluss die ganze Menge wieder vervollständigt. Nur bei $\begin{eqnarray*} U_1 \cup H = \overline U_1 \subset \overline { (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1 } \subset U_1 \cup H \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht, warum $\begin{eqnarray*} \overline { (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1 } \subset U_1 \cup H \end{eqnarray*}$ gilt

12.12.2015, 11:35

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, es ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1 \subset U_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \overline { (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1 } \subset \overline {U_1} = U_1 \cup H \end{eqnarray*}$ , nach der ersten Aufgabe.

12.12.2015, 11:58

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal von vorne.

Wie beweise ich, dass $\begin{eqnarray*} U_1(0)\cup H \end{eqnarray*}$ sowohl mein Abschluss ist, als auch meine Menge der Häufungspunkte ist?

12.12.2015, 12:16

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich wohl zu implizit benutzt habe ist:

Zitat:

Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält.

Da der Abschluss $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ die kleinste abgeschlossene Menge ist, die $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält, sind die Elemente in $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ genau die Häufungspunkte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Daher habe ich die beiden Sachen als äquivalent betrachtet. Du könntest also auch statt den Abschluss immer HP, für die Menge aller Häufungspunkte schreiben. Also $\begin{eqnarray*} \text{HP}(A) = \{ x : x \text{ ist Häufungspunkt der Menge } A \} \end{eqnarray*}$ .

Also wäre die Gleichungskette unten
$\begin{eqnarray*} U_1 \cup H = \text{HP} (U_1) = \text{HP}( (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1) \subset U_1 \cup H \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe es wurde ein wenig klarer.

12.12.2015, 14:35

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh immer noch nicht ganz, warum die Häufungspunkte äquivalent sind

12.12.2015, 16:49

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte du musst etwas spezifischer fragen, weil ich nicht sicher bin worauf du dich beziehst.

12.12.2015, 17:05

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht ganz, warum $\begin{eqnarray*} HP(U_1(0)) = HP((\mathbb{Q}, i\mathbb{Q}) \cap U_1(0)) \end{eqnarray*}$ und vor allem, wie ich das beweise

12.12.2015, 17:32

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Erst einmal ist $\begin{eqnarray*} HP(A) \subseteq HP(B) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ . In Worten: Man verliert keine Häufungspunkte, wenn man die Menge größer macht. Beweisen kann man das direkt über die Definition von Häufungspunkten mit der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} C \cap A \neq \emptyset \implies C \cap B \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ für alle Mengen $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Ist das klar?

Als weiteres ist hilfreich: Es gilt $\begin{eqnarray*} HP( HP(A) ) = HP(A) \end{eqnarray*}$ .

Damit gilt mit der ersten Aussage schon einmal $\begin{eqnarray*} HP( (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_1 ) \subseteq HP(U_1) \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist also noch $\begin{eqnarray*} HP( (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_1 ) \supseteq HP(U_1) \end{eqnarray*}$ .

Dazu reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} HP( (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_1 ) \supseteq U_1 \end{eqnarray*}$ . Denn daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} HP(HP( (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_1 )) \supseteq HP(U_1) \end{eqnarray*}$ und mit der zweiten Eigenschaft $\begin{eqnarray*} HP( (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_1 ) \supseteq HP(U_1) \end{eqnarray*}$ .

Nun folgt endlich $\begin{eqnarray*} HP( (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_1 ) \supseteq U_1 \end{eqnarray*}$ aus der Beobachtung, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ offen ist und $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i\mathbb Q) \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ dicht. Sei nämlich $\begin{eqnarray*} x \in U_1 \end{eqnarray*}$ , dann existiert ein $\begin{eqnarray*} r > 0 \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} \{ y \in \mathbb C: |x - y| < r \} = U_r(x) \subset U_1 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i\mathbb Q) \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ dicht folgt nun $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_r(x) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und damit die Aussage.

12.12.2015, 18:08

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist nicht klar, wie aus $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_r(x) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} HP( (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_1 ) \supseteq U_1 \end{eqnarray*}$

12.12.2015, 18:16

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Da $\begin{eqnarray*} U_r(x) \subset U_1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_r(x) = (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap (U_r(x) \cap U_1) = ((\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1) \cap U_r(x) \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_r(x) \neq \emptyset \iff ((\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1) \cap U_r(x) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Nach Definition ist also jedes $\begin{eqnarray*} x \in U_1 \end{eqnarray*}$ Häufungspunkt, also $\begin{eqnarray*} HP( (\mathbb Q, i\mathbb Q) \cap U_1 ) \supseteq U_1 \end{eqnarray*}$ .

12.12.2015, 18:23

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

wozu brauche ich diese Zeile?:

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_r(x) \neq \emptyset \iff ((\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1) \cap U_r(x) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

12.12.2015, 18:25

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Man braucht es nicht wirklich. Aber das rechte ist was man braucht, und es reicht das "schwächere" links zu zeigen. Das linke ist also (minimal) leichter zu zeigen, weswegen ich das genommen habe.

12.12.2015, 18:31

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist: ich verstehe nicht ganz die aussage und wozu ich sie brauche

12.12.2015, 18:39

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib dir mal die Definition von einem Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} ((\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1) \end{eqnarray*}$ dort siehst du warum die Menge $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1) \cap U_r(x) \end{eqnarray*}$ interessant ist.

12.12.2015, 18:53

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist ein Häufungspunkt, falls

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \Rightarrow U_e(x) \cap ((\mathbb{Q}, i\mathbb{Q})\cap U_1(0) \setminus \{x\}) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

12.12.2015, 18:58

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich noch irgendwo ein $\begin{eqnarray*} \setminus \{x\} \end{eqnarray*}$ hätte wären sie gleich.

12.12.2015, 19:01

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte wohl etwas zu wenig zeigen, langer Tag heute, sorry.

Aaaalso: Aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ offen folgt, dass $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x) \subset U_1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon < r \end{eqnarray*}$ für eine Konstante $\begin{eqnarray*} 0 < r \end{eqnarray*}$ , die von x abhängt. Also vereinfacht sich
$\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x) \cap ((\mathbb{Q}, i\mathbb{Q})\setminus \{x\}) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} x \in (\mathbb Q, i \mathbb Q) \cap U_1 \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sowieso Häufungspunkt der Menge. Also können wir davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \setminus (\mathbb Q, i \mathbb Q) \end{eqnarray*}$ und der interessante Fall ist tatsächlich
$\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x) \cap (\mathbb{Q}, i\mathbb{Q}) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Allerdings braucht man die Fallunterscheidung nicht. Es soll nur eine kleine Ausrede/Entschuldigung sein, dass ich " ohne x" ständig vergesse Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2015, 19:12

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ beliebig klein $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in HP(\mathbb{Q}, i\mathbb{Q})\cap U_1(0) \Rightarrow HP(\mathbb{Q}, i\mathbb{Q})\cap U_1(0) \supseteq U_1(0) \end{eqnarray*}$

12.12.2015, 19:12

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Freude

12.12.2015, 19:15

Wynne

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Vielen Dank Gott

Gott

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »