Dividierte Differenzen zweier Funktionen?

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Sabrina95 Auf diesen Beitrag antworten »
Dividierte Differenzen zweier Funktionen?
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgendes Induktionsproblem, welches ich leider nicht gelöst bekomme...

Die "dividierte Differenz" ist f[x_0...x_n] und ist rekursiv definiert nach:



mit


und



Zu zeigen wäre, dass für die Multiplikation zweier Funktion h=fg gilt:



und paarweise verschiedenen x_i.



Meine Ideen:
Meine Idee wäre ein Induktionsbeweis.

Induktionsanfang für k=1:



Muss ich jetzt für k=1 noch etwas machen? Normalerweise konnte man sonst sagen, dass für k=1 die Aussage stimmt, aber hier?

Nun würde ich für k --> k+1 weiter machen. Nur leider komme ich da überhaupt nicht weiter.

Hoffe auf eure Hilfe...

Grüße
Sabrina
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dividierte Differenzen zweier Funktionen?
Zitat:
Original von Sabrina95
Induktionsanfang für k=1:


Du hast die Summe falsch gelesen. Tatsächlich ist hier



nachzuweisen.

EDIT: Zumindest, wenn du wirklich k=1 als Induktionsanfang betrachten willst. Ich würde den allerdings eher bei k=0 sehen. Augenzwinkern
Sabrina95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke sehr. da habe ich mich wohl wirklich dumm verguckt.

Für k=0 habe ich das jetzt bewiesen. Nun muss ich aber als nächstes den Schritt machen, also von k auf k+1. und das klappt leider nicht. Könntest du mir da evtl. einen Ansatz geben?

Grüße
Sabrina
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sabrina95
Nun muss ich aber als nächstes den Schritt machen, also von k auf k+1. und das klappt leider nicht.

Eigentlich funktioniert das ganz normal: Im Induktionsschritt fängt man an mit



und nutzt dann rechts sowohl für als auch die Induktionsvoraussetzung ein. Anschließend schiebt man noch eine geeignete nahrhafte Null ein und ist damit nahezu durch.
Sabrina95 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Und genau da liegt mein Problem.
Die Vorraussetzung ist doch



der obere Ausdruck?

Wenn ich das nun Einsetze, dann stehe ich bei folgendem Ausdruck und da kam und komme ich nicht weiter:



Wie geht es nun genau weiter?

Grüße
Sabrina
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, den ersten Ausdruck hast du total falsch eingesetzt: Das sind auch Argumente, aber nicht , sondern (also der Index bei allen Argumenten um eins verschoben), dementsprechend erhält man nach dieser zweifachen Nutzung der Induktionsvoraussetzung

.
 
 
Sabrina95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

da hast du natürlich vollkommen Recht. Das habe ich falsch gemacht.
Wenn ich nun eine null addiere, komme ich auf folgenden Ausdruck nach ausklammern:



wobei ich folgendes addiert habe in deinem Ausdruck:




Stimmt das so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht, was du da wieder machst. Also mal Schritt für Schritt - mit "nahrhafter Null" meine ich folgendes: Aus der letzten Gleichung oben folgt

.

Und dann die inneren geklammerten Differenzen durch passende dividierte f- bzw. g-Differenzen ersetzen, mit passenden Vorfaktoren.
Sabrina95 Auf diesen Beitrag antworten »

HI, danke für die Antwort.

Ach so, so meinst du das. Ok., so klappt es tatsächlich besser.

Für die Ersetzung bekomme ich folgende Dividierten Differenzen:

für die f-Differernz umgeschrieben:


für die g-Differernz umgeschrieben:


Ist das richtig?

Wenn ich das jetzt in den Gesamt-Ausdruck einsetzte, bekomme ich aber noch nicht den gesuchten Ausdruck. Wie bekomme ich den?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sabrina95
für die f-Differernz umgeschrieben:


für die g-Differernz umgeschrieben:


Ist das richtig?

Ja.

Zitat:
Original von Sabrina95
Wenn ich das jetzt in den Gesamt-Ausdruck einsetzte, bekomme ich aber noch nicht den gesuchten Ausdruck.

Mach in dem einen Teil (also dem mit Vorfaktor ) eine Indexverschiebung...
Sabrina95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich richtig verstehen, dann soll ich jetzt eine Art Substitution machen, in dem ich das i+1 als etwas anderes setzte. Wenn ich also i+1:=k setzte, dann bekäme ich:

\frac{1}{x_{k+1} - x_0} \sum \limits_{i=0}^{k} (x_{k+1} - x_i) f[x_0...x_i] g[x_i...x_{k+1}] + \sum \limits_{k=1}^{k+1} \frac{1}{x_{k+1} - x_0} (x_k - x_0) f[x_0 ... x_k] g[x_k ... x_{k+1}]

Wobei die zweite Summe nur für k 1 und 2 einzusetzen hat.
Das scheint aber falsch zu sein. Ich glaube, ich habe dich falsch verstanden, was die Indexverschiebung angeht, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nicht als neuen Index nehmen, da du schon ein anderweitiges in der Formel hast, dieses Symbol also "besetzt" ist. Eigentlich sollte man auf solche Selbstverständlichkeiten nicht hinweisen müssen. unglücklich

würde aber funktionieren, ja.
Sabrina95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte die Striche vergessen. j ist natürlich sinnvoller, kommt man nicht durcheinander. Es bleibt aber weiterhin das Problem bestehen:



Die zweite Summe sieht ja schon fast aus, wie der Gesuchte Ausdruck. Aber wie bekomme ich die Vorfaktoren weg, damit der Gesichte Ausdruck da steht?

Danke und Grüße
Sabrina
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie kriegst du ja keinen einzigen Schritt selbständig hin, nicht mal diesen letzten, kleinen. unglücklich


Zunächst mal ergänze die erste Summe um i=k+1, sowie die letzte Summe um j=0 - warum geht das ohne Wertänderung?

Und dann fasse diese Summen wieder zusammen (d.h. per j=i), dann müsste dir bei der Zusammenfassung der Vorfaktoren ja mal was auffallen.
Sabrina95 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, jetzt habe ich es hinbekommen. Irgendwie stand ich heute ziemlich auf dem Schlauch. Danke sehr für die Hilfe!
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