Dichtheit beweisen

12.12.2015, 09:59	kinggarri	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtheit beweisen Meine Frage: Zeigen Sie das folgende: $\begin{eqnarray} (\mathbb R \setminus \mathbb Q)\cap \left[0,1\right] \end{eqnarray}$ ist dicht in [0,1] $\begin{eqnarray} \mathbb Q\cap \left[0,1\right] \end{eqnarray}$ ist dicht in [0,1] Meine Ideen: Also Dichtheit haben wir so definiert: Sei S $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ M Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ . S heißt dicht in M, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray} x_{0}\in M \end{eqnarray}$ und jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x \in S\cap U_{\epsilon} (x_{0} ) \end{eqnarray}$ gibt. Soweit so gut, dass ist mir schon klar, aber ich kann allein mit der Definition ja wohl kaum die Aufgabe beweisen. Ich hab noch nie Dichtheit bewiesen, weiß somit auch nicht, wie ich es angehen soll. Wie ist das mit dem Intervall [0,1] überhaupt gemeint? Enthält dieses Intervall dann die reellen Zahlen von 0 bis 1, oder wie ist das definiert? Wie zeigt man denn Dichtheit? Danke für Hilfestellung!! Schöne Grüße kinggarri
12.12.2015, 14:06	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichtheit beweisen Hallo, Da kann ich dir weiterhelfen: Es ist ja zu beweisen, dass die Menge der irrationalen zählen dicht in der Menge der reellen zahlen liegt. Man kann hier tatsächlich aus der Definition heraus den Beweis führen. Dazu 2 Tips: Addiert man Zu einer rationalen Zahl eine irrationale, ist das Ergebnis immer irrational. Und zweitens: Wurzel aus 2 Ist bekanntlich irrational, und dann natürlich auch 1/10, 1/100, 1/1000... mal Wurzel aus 2. So kann man beliebig kleine irrationale zahlen erzeugen. Mit diesen tips solltest du einen Beweis basteln können. Gruss ollie3
13.12.2015, 09:07	kinggarri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichtheit beweisen aaahh, ok, das hilft mir sehr weiter, vielen Dank! Beziehungsweise, eine Frage hab ich doch noch: Kann ich einfach verwenden, dass sich bei der Addition einer irrationalen Zahl mit einer rationalen eine irrationale ergibt, oder muss ich das beweisen? Also intuitiv ist es natürlich ganz klar, aber ich kann mich nicht erinnern, dass wir das in der Vorlesung gezeigt hätten. Oder ist das einfach trivial? Aber sonst verstehe ich das jetzt, das waren super Hinweise, vielen Dank für die Hilfe!!

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