Funktion in der offenen Einheitskreisscheibe

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12.12.2015, 11:52	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion in der offenen Einheitskreisscheibe Meine Frage: Hallo liebe Matheboardler, ich muss eine Aufgabe lösen, habe aber nicht einmal einen blassen Schimmer, wie ich da ran gehen soll. Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} f: \delta -> \delta \end{eqnarray}$ holomorph in der offenen Einheitskreisscheibe (das ist $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ), mit Werten $\begin{eqnarray} \|f(z)\|<1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ . Ich soll zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \|f(z)\|<\|z\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z \in \delta \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Der Tipp zur Aufgabe lautet, dass ich die Funktion $\begin{eqnarray} g(z)=f(z)/z \end{eqnarray}$ auf Holomorphie und ihr Betragsmaximum auf der Kreislinie $\begin{eqnarray} \|z\|=1-\epsilon \end{eqnarray}$ und auf ihr Betragsmaximum auf $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ untersuchen soll. Aber über $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ weiß ich doch eigentlich gar nichts. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \delta ohne \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ definiert ist, aber ich kenne ja das Bild von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nicht. Ich muss dann ja zeigen, dass das Bild von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ eigentlich wieder $\begin{eqnarray} \delta ohne \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ ist, da dann gilt: $\begin{eqnarray} \|g(z)\|<1 \end{eqnarray}$ und das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \|f(z)\|<\|z\| \end{eqnarray}$ , stimmt's? Aber was hilft mir die Holomorphie und das Betragsmaximum auf dieser Kreislinie dabei? Ich hatte auch die Idee, folgenden Satz anzuwenden: Sei D ein beschränktes Gebiet in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f : A-> \mathbb C \end{eqnarray}$ stetig und auf D holomorph. (Dabei ist A der Abschluss des offenen Gebietes D.) Dann nimmt $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ sein Maximum auf dem Rand von D an (und falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ keine Nullstellen besitzt, auch sein Minimum). Diesen Satz kann ich ja prinzipiell auf $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ anwenden, wenn ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf dem Rand von $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ stetig ist. Aber ich kann ihn ja nicht auf $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ anwenden, da $\begin{eqnarray} \delta ohne \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ ja kein Gebiet ist, da es eine punktierte Kreisscheibe ist, oder? Danke schonmal für die Antworten! LG Poskepia
12.12.2015, 13:21	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, eigentlich steht schon alles in dem Tipp. Hast du den befolgt, also untersucht, ob sich $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ holomorph auf $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ fortsetzen lässt? Dafür gibt es Sätze, die hilfreich sein können. Was habt ihr in die Richtung gemacht? Wenn du gezeigt hast, dass sich $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ fortsetzen lässt, steht auch in dem Tipp, wie du weiter machen sollst. Den Satz, den du dafür benutzen kannst, hast du sogar selbst angegeben, du solltest ihn nur nicht auf $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ anwenden, sondern auf $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und auch nicht mit $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , sondern mit $\begin{eqnarray} B(0,1-\epsilon) \end{eqnarray}$ , das steht doch auch im Tipp
13.12.2015, 11:46	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Ich hatte gestern leider keine Zeit mehr zu antworten. Also... ich hab verstanden, was mir der Tipp und mein Satz bringen, wenn ich die Beschränktheit von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ in einer kleinen Umgebung um den Nullpunkt gezeigt habe, dann lässt sich ja der Riemannsche Hebbarkeitssatz anwenden. Wie zeige ich das aber? Auf den ersten Blick wirkt die Funktion $\begin{eqnarray} g(z)=\frac{f(z)}{z} \end{eqnarray}$ um den Nullpunkt herum unbeschränkt. Ich weiß über den Zähler von $\begin{eqnarray} g(z)=\frac{f(z)}{z} \end{eqnarray}$ ja gar nichts, außer, dass f(0)=0 ist und die Beträge von $\begin{eqnarray} f \leq 1 \end{eqnarray}$ sind. Aber "sehr" nah am Nullpunkt kann ja gottweißwas mit der Funktion $\begin{eqnarray} g(z)=\frac{f(z)}{z} \end{eqnarray}$ passieren. Wie kann ich denn $\begin{eqnarray} \|g(z)\|=\|\frac{f(z)}{z}\| \leq K \end{eqnarray}$ zeigen? (Wenn K eine Konstante ist.) LG Poskepia
13.12.2015, 12:23	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: wie ist f'(0) definiert?
13.12.2015, 14:01	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, da $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ ist, schätze ich mal, dass für den Betrag $\begin{eqnarray} \|f(0)\|=0 \end{eqnarray}$ gilt. Damit hätte $\begin{eqnarray} \|f(z)\| \end{eqnarray}$ in 0 aber ein lokales Minimum, daher müsste doch $\begin{eqnarray} f'(0)=0 \end{eqnarray}$ sein? (Ich weiß, es gibt Maxima und Minima, in denen die Ableitung nicht zwangsweise 0 sein muss, allerdings kommen diese ja im Normalfall nur am Rand vor. Da f stetig auf ganz $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ist, und 0 mitten in $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ liegt, müsste 0 dann doch ein Minimumstelle sein, an der die Ableitung auch 0 ist, oder? Soll ich dann mit l'Hospital argumentieren? $\begin{eqnarray} \lim_{z \to 0} \frac{\|f(z)\|}{\|z\|} = \lim_{z \to 0} \frac{\|f'(z)\|}{\|1\|} \end{eqnarray}$ Ich bin mir gerade überhaupt nicht sicher, ob das stimmt, ich habe jetzt frecherweise mal die Betragsfunktion beim Ableiten außen vor gelassen. Daher habe ich $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ einfach mit 1 abgeleitet und $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ einfach mit $\begin{eqnarray} f'(z) \end{eqnarray}$ . Damit wäre zumindest der Punkt 0 nicht "unendlich" groß, und somit könnte ich $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ im Punkt 0 mit 0 stetig fortsetzen. Darf man das? Soll ich mit der Stetigkeit von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ argumentieren, dass durch diesen limes auch in der Nähe vom Nullpunkt nicht viel passieren kann?
13.12.2015, 14:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nichts in der Art. Ich meinte wirklich ganz grundlegend, was ist die Definition der Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ? So, wie man es ganz am Anfang definiert. Mit L'Hospital könnte man zwar auch argumentieren (dann allerdings ohne Betrag), aber dafür müsste man sich dann vorher überlegen, dass (und unter welchen Bedingungen) L'Hospital im Komplexen anwendbar ist.
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13.12.2015, 15:31	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe, worauf du hinaus willst, darauf wär ich nicht gekommen. Du meinst doch sicherlich: $\begin{eqnarray} \lim_{z \to 0} g(z) = \lim_{z \to 0} \frac{f(z)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{f(z)-f(0)}{z-0} = f'(0) \end{eqnarray}$ , stimmt's? Nun weiß ich allerdings nicht, wie welchen Wert $\begin{eqnarray} f'(0) \end{eqnarray}$ hat... Hilft mir die Tatsache etwas, dass die Nullstellen einer auf D holomorphen Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ immer isolierte Punkte von D sind?
13.12.2015, 15:36	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Dass dieser Limes existiert, heißt doch insbesondere, dass sich $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ stetig fortsetzen lässt. Damit muss $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf einer kompakten Umgebung des Nullpunktes als stetige Funktion beschränkt sein.
13.12.2015, 16:25	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, vielen Dank, jetzt ergibt die ganze Aufgabe doch Sinn für mich. Ich habe immer so meine Probleme mit topologischen Aufgaben, außerdem bin ich mir nie sicher, welche Sätze ich im Komplexen anwenden darf, die ich in der reellen Analysis gelernt habe, eben der Satz, dass stetige Funktion auf kompakten Mengen ihr Maximum annehmen, also beschränkt sind. LG Poskepia
13.12.2015, 16:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Beruft man sich auf die Potenzreihenentwicklung von f und f(0)=0, dann bekommt man für g sogar eine Potenzreihenentwicklung geschenkt.

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