Ist diese Menge offen oder abgeschlossen?

12.12.2015, 13:21	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist diese Menge offen oder abgeschlossen? $\begin{eqnarray} M = {(x, iy): x\in [0,1], y\in [1,-1]} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ Ich habe schon gezeigt, dass die Menge nicht offen ist. Wie würde ich noch zeigen, dass abgeschlossen ist?
12.12.2015, 17:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Menge offen oder abgeschlossen? Wie habt ihr abgeschlossen denn definiert?
12.12.2015, 17:07	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
falls alle folgen in dem Körper gegen ein Element aus dem Körper konvergieren
12.12.2015, 17:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersetze "Körper" durch "Menge". Und selbst das ist eine viel zu starke Forderung. Schlag lieber noch einmal nach wie es genau definiert ist.
12.12.2015, 17:49	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
eine Menge ist abgeschlossen, falls $\begin{eqnarray} \forall x \in M \exists \epsilon >0: U_\epsilon(X) \cap M = \emptyset \end{eqnarray}$
12.12.2015, 17:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Es fehlt ein Komplement (!) bei M, also $\begin{eqnarray} \forall x \in M^C \exists \epsilon >0: U_\epsilon(x) \cap M = \emptyset \end{eqnarray}$ . Eine Menge ist abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist. Alternativ bei deiner ersten Formulierung: Ist $\begin{eqnarray} (x_n) \subset M \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge (das gehört in die Voraussetzung der Folge, nicht in die Folgerung), dann gilt $\begin{eqnarray} \lim x_n \in M \end{eqnarray}$ . Also welche ist dir lieber?
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12.12.2015, 18:00	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Die mit dem Kompliment
12.12.2015, 18:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann: Was ist bei dir $\begin{eqnarray} M^C \end{eqnarray}$ ?
12.12.2015, 18:05	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} M^C :=\{x+iy : x\in \mathbb{R}\setminus [0,1], y\in \mathbb{R} \setminus [-1,1]\} \end{eqnarray}$
12.12.2015, 18:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du dir die Menge mal aufgemalt? Und dein "Komplement"? Aus logischer Sicht hast du $\begin{eqnarray} (x,y) \in M \iff x \in [0,1] \wedge y [-1,1] \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} (x,y) \in M^C \iff x \not\in M \iff ...? \end{eqnarray}$ . Hier ist es wichtig wie das nicht mit der logischen Operation des "und" (also $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ ) umgeht.
12.12.2015, 18:15	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
M^C :=\{x+iy : x\not\in [0,1] \vee y\not\in [-1,1]\}
12.12.2015, 18:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit LaTeX-Tags $\begin{eqnarray} M^c :=\{x+iy : x\not\in [0,1] \vee y\not\in [-1,1]\} \end{eqnarray}$ , genau. Also sei $\begin{eqnarray} (x,y) \in M^c \end{eqnarray}$ . Das heißt $\begin{eqnarray} x \not\in [0,1] \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y \not\in [-1,1] \end{eqnarray}$ , also hast du zwei Fälle. Zeige, dass wenn $\begin{eqnarray} x \not\in [0,1] \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ beliebig, es einen offenen Ball um $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ gibt, der $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ nicht schneidet. Und dann das gleiche noch umgekehrt mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ beliebig aber $\begin{eqnarray} y \not\in[-1,1] \end{eqnarray}$ .
12.12.2015, 21:13	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
danke

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