Unabhängige Zufallsvariablen addieren

12.12.2015, 15:45

baltimore

Unabhängige Zufallsvariablen addieren

Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgende Aufgabe berechnen und komme einfach nicht auf die Lösung.

Du hast 10 Schachteln mit elektrischen $\begin{eqnarray*} 200 \Omega \end{eqnarray*}$ Widerständen. Da die Widerstände in einer Schachtel in einem Arbeitsgang produziert wurden, haben alle exakt den gleichen Widerstandswert. Dieser variiert aber mit einer Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} 5\Omega \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 200 \Omega \end{eqnarray*}$ . Die Schachteln sind voneinander unabhängig. Du schaltest nun 10 Widerstände in Serie, dabei addieren sich die Widerstände. Welchen Erwartungswert und welche Standardabweichung erhältst du für den Gesamtwiderstand, wenn du

a) alle Widerstände aus einer Schachtel nimmst,
b) jeden Widerstand aus einer anderen Schachtel nimmst, oder
c) jeweils 5 aus einer Schachtel nimmst?

Meine Ideen:
Was ich schon weiß ist, dass ich die Zufallsvariablen addieren kann, um zur Lösung zu kommen.

Ich würde also als Lösung für a) sagen, dass
$\begin{eqnarray*} $E(Y) = 10 * E(X) = 10 * 200 = 2000 \Omega$ \end{eqnarray*}$ .
Außerdem denke ich ist
$\begin{eqnarray*} $V(Y) = 10 * V(X)$ \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} $\sigma_{Y} = \sqrt{10} * 5$ \end{eqnarray*}$ .

Was mir nicht ganz klar ist: wie wirken sich Frage b) und c) auf den Lösungsweg aus? Ich weiß ja nichts genaueres über die verschiedenen Schachteln als wieder nur den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Gruß

12.12.2015, 16:44

HAL 9000

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Ich hab die Aufgabenformulierung so verstanden: Schachtel $\begin{align*} k \end{align*}$ lässt sich der normalverteilte Widerstandswert $\begin{align*} R_k\sim \mathcal{N}(200,5^2) \end{align*}$ zuordnen. Nimmt man mehrere Widerstände aus derselben Schachtel, dann haben die alle exakt den Wert $\begin{align*} R_k \end{align*}$ . D.h.:

a) Nimmt man einen Widerstand aus Schachtel 1 und einen aus Schachtel 2, so ist die Summe verteilt gemäß $\begin{align*} R_1+R_2\sim \mathcal{N}(200+200,5^2+5^2) = \mathcal{N}(400,50) \end{align*}$ .

b) Nimmt man aber beide Widerstände aus Schachtel 1, so ist die Summe verteilt gemäß $\begin{align*} 2R_1\sim \mathcal{N}(2\cdot 200, (2\cdot 5)^2) = \mathcal{N}(400,100) \end{align*}$ .

Prinzip klar?

12.12.2015, 19:02

baltimore

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Hallo,

danke für die Hilfe.

dann habe ich also eigentlich den Lösungsweg für Frage b) und nicht für a) überlegt, wenn ich das richtig sehe?

Ich bekomme dann also für

a)
$\begin{eqnarray*} E(Y) = E(10*R_1) = 10 * 200 = 2000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(Y) = (10 * \sigma_{R_1})^2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sigma_Y = 10 * \sigma_{R_1} = 50 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} E(Y) = E(R_1+R_2 \dots + R_{10}) = 200 + 200 + \dots + 200 = 2000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(Y) = \sigma_{R_1}^2 + \sigma_{R_2}^2 + \dots + \sigma_{R_10}^2 = 5^2 + 5^2 + \dots + 5^2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sigma_Y = \sqrt{10 * \sigma_{R_1}^2} = 15,81 \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} E(Y) = E(5*R_1+5*R_2) = 5*200 + 5*200 = 2000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(Y) = (5*\sigma_{R_1})^2 + (5* \sigma_{R_2})^2 = 625 + 625 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sigma_Y = \sqrt{1250} = 35,36 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal, ich hab das jetzt richtig verstanden. Was mich ein bisschen irritiert ist, dass sich zwar die Standardabweichung für jeden Fall verändert, aber nicht der Erwartungswert. Woran liegt das?

12.12.2015, 19:16

HAL 9000

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Ja, sehe ich auch so.

Zitat:

Original von baltimore
Was mich ein bisschen irritiert ist, dass sich zwar die Standardabweichung für jeden Fall verändert, aber nicht der Erwartungswert. Woran liegt das?

Es sollte dich eher irritieren, wenn das mit dem Erwartungswert nicht so wäre: Wenn man 10 Widerstande mit im Mittel 200 Ohm hat, dann sollte in Reihenschaltung schon im Mittel 2000 Ohm rauskommen und damit keine systematischen Verschiebung - ganz egal aus welcher Schachtel man die 10 greift. Augenzwinkern

12.12.2015, 19:31

baltimore

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Alles klar, so macht das Sinn. Vielen Dank für die Erklärungen smile

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