Betragsungleichung l3x-9l-4<=x^2-6x+5

12.12.2015, 16:17

Mcal

Betragsungleichung l3x-9l-4<=x^2-6x+5

Meine Frage:
Hallo,

kommen bei folgender Ungleichung nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} |3x-9|-4\leq x^{2}-6x+5 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Fall 1:
$\begin{eqnarray*} 3x-9\geq 0\wedge 3x-9\leq x^{2} -6x+9 \end{eqnarray*}$

Ergibt:
$\begin{eqnarray*} x\geq 3\wedge x\geq 6 \end{eqnarray*}$ = [6, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )

Wie fahre ich fort?

12.12.2015, 16:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Betragsungleichung l3x-9l-4<=x^2-6x+5

Zitat:

Original von Mcal
Fall 1:
$\begin{eqnarray*} 3x-9\geq 0\wedge 3x-9\leq x^{2} -6x+9 \end{eqnarray*}$

Prinzipiell richtig, aber du solltest etwas sauberer trennen, was Fallbedingung ist - und was daraus für die Ungleichung folgt. D.h.:

Fallbedingung ist $\begin{align*} 3x-9\geq 0 \end{align*}$ , was zu $\begin{align*} |3x-9|=3x-9 \end{align*}$ führt und damit zur zu lösenden Ungleichung $\begin{align*} 3x-9\leq x^2-6x+9 \end{align*}$ . Deren Lösung in diesem 1.Fall ist übrigens nicht nur $\begin{align*} [6,\infty) \end{align*}$ , da hast du noch was vergessen. Augenzwinkern

Das bedeutet für den anderen Fall:

Fall 2 mit Fallbedingung $\begin{align*} 3x-9<0 \end{align*}$ (bedeutet dann $\begin{align*} x<3 \end{align*}$ ):

Hier ist $\begin{align*} |3x-9|=-(3x-9) \end{align*}$ und somit die zu lösende Ungleichung $\begin{align*} -(3x-9)\leq x^2-6x+9 \end{align*}$ .

12.12.2015, 17:09

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte auch die Ungleichung quadrieren und die dritte binomische Formel anwenden. Dann geht die Ungleichung über in:

$\begin{eqnarray*} (x^2-9x+18)(x^2-3x)\geq0 \end{eqnarray*}$

Dann gilt es nur noch zu untersuchen, für welche x beide Faktoren positiv oder negativ sind. Der erste Fall liefert 2 Intervalle, der zweite Fall nur noch eine Zahl.

Ob dieser Weg schneller ist, vermag ich nicht zu beurteilen.

12.12.2015, 17:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die Sache scharf ansieht, stellt man $\begin{align*} |3x-9| \leq x^2-6x+9 = (x-3)^2 \end{align*}$ fest, also $\begin{align*} 3|x-3| \leq |x-3|^2 \end{align*}$ bzw.

$\begin{align*} 0 \leq |x-3|\cdot (|x-3|-3) \end{align*}$ . smile

12.12.2015, 17:26

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann wohl der eleganteste Weg. Freude

Dir (weiterhin) ein schönes Adventswochenende!

Wink

12.12.2015, 18:13

Mcal

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe. Habe es jetzt nochmal versucht (Bild Anhang). Hoffe das entspricht so der Wahrheit.
Kann man die 3 in der Lösungsmenge, mathematisch berechnen? Habe sie bei dieser Rechnung so zu sagen durch einsetzen entdeckt.

Tu mir verdammt schwer mit diesem Thema...

12.12.2015, 19:01

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mcal
Kann man die 3 in der Lösungsmenge, mathematisch berechnen? Habe sie bei dieser Rechnung so zu sagen durch einsetzen entdeckt.

Ja klar kann man die 3 entdecken: In deinem ersten Fall ergibt sich die quadratischen Ungleichung $\begin{align*} x^2-9x+18 \geq 0 \end{align*}$ , deren Lösung $\begin{align*} (-\infty,3]\cup [6,\infty) \end{align*}$ ist. Das muss noch mit der Fallbedingung $\begin{align*} [3,\infty) \end{align*}$ geschnitten werden, so dass als Lösungsmenge für diesen Fall

$\begin{align*} [3,\infty) \cap \left( (-\infty,3]\cup [6,\infty) \right) = \{3\} \cup [6,\infty) \end{align*}$

herauskommt. Das meinte ich ja oben mit

Zitat:

Original von HAL 9000
Deren Lösung in diesem 1.Fall ist übrigens nicht nur $\begin{align*} [6,\infty) \end{align*}$ , da hast du noch was vergessen. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Betragsungleichung l3x-9l-4<=x^2-6x+5

Verwandte Themen