Basiswechselmatrix bestimmen

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12.12.2015, 22:00	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechselmatrix bestimmen Hallo Leute, das Thema war hier zwar schon (oder kommt bestimmt regelmäßig ), aber ich muss einfach meine Fragen hier loswerden, ich verzweifele an dem Thema... Helft mir bitte mal und zwar bitte mit einer Art Algorithmus. Die Aufgabe ist: Gegeben sind die Basen: B = ( (17,-25,1), (0,1,0), (16,0,1) ) B' = ( (1,0,0), (0,1,0), (16,2,1) ) sowie C = kanonische Einheitsbasis C' = ( (7,3), (5,2) ) und die Matrix der linearen Abbildung f: $\begin{eqnarray} M_{B}^{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechen Sie: $\begin{eqnarray} M_{C'}^{C}(id_{\mathbb R^{2}}) \end{eqnarray}$ Also, das wäre die erste Aufgabe, ich möchte das es nicht durcheinander geht. Was mache ich nun? Das heißt doch nichts anderes, als das ich die Bilder von C' darstelle in C, oder? Nun, da C ja die Einheitsbasis ist, rechne ich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 7 \\ 3\end{pmatrix} = 7\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und erhalte damit den ersten Teil des Ergebnises und mache das gleiche mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} = 5\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und erhalte als Ergebnismatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 7 & 5\\ 3 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das erstmal so richtig?
13.12.2015, 10:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht gut aus.
13.12.2015, 14:22	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechselmatrix bestimmen Ok, danke schonmal. Nun soll $\begin{eqnarray} M_{B'}^{B}(id_{\mathbb R^{3}}) \end{eqnarray}$ berechnet werden. Hier mache ich folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 17 \\ -25 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda_{1}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda _{2}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{3}\cdot \begin{pmatrix} 16 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und genauso mit den Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit den Lösungen der LGS ergibt sich die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -27 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Und zum Verständnis: Die Matrix $\begin{eqnarray} M_{B'}^{B} \end{eqnarray}$ bedeutet doch, die Vektoren in B' darzustellen als Linearkombination der Vektoren in B, richtig?
13.12.2015, 17:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich haben wir dasselbe Verständnis davon, was zu tun ist. Warum stellst Du dann nicht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\in B' \end{eqnarray}$ in der Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ dar
13.12.2015, 17:40	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei mir nicht böse, aber das hilft mir derzeit nicht, weil mir das Verständnis fehlt. Stimmt meine Matrix? Edit: nein, ich habe es genau falschrum gemacht oder?
13.12.2015, 17:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, du hast B und B' verwechselt
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13.12.2015, 17:50	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann käme ich nun auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 25 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.12.2015, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt
13.12.2015, 18:23	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt. Nun soll noch $\begin{eqnarray} M_{B'}^{C'} \end{eqnarray}$ bestimmt werden. Dazu habe ich angewendet: $\begin{eqnarray} (M_{C'}^{C})^{-1} \cdot M_{B}^{C}(f)\cdot M_{B'}^{B} \end{eqnarray}$ und erhalte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 567 & 21 & 18 \\ -605 & -25 & -95 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ War das korrekt?
13.12.2015, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst bei jeder Matrix den Homomorphismus id bzw f dazuschreiben, dann wird es wohl stimmen ( ich mag nicht nachrechnen ) .
13.12.2015, 18:40	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, damit ist mir zumindest das Prinzip damit klar und ich danke dir ganz vielmals. Nun soll man aber zusätzlich noch auf die Formel verzichten... Wie komme ich denn dann an die Matrix $\begin{eqnarray} M_{B'}^{C'}(f) \end{eqnarray}$ ? Bzw. was muss ich für einen Ansatz machen?
13.12.2015, 18:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
... weiß ich auch nicht ...
13.12.2015, 18:56	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Aber ich danke dir ganz vielmals für deine Hilfe!
14.12.2015, 10:40	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn ich die Matrix $\begin{eqnarray} M_{B'}^{C'} \end{eqnarray}$ berechnen möchte, muss ich dann die Bilder von B' bilden (also die drei Vektoren aus B' mit der Abbildungsmatrix multiplizieren) und die entstehenden Vektoren in C' darstellen?
14.12.2015, 10:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss die Formel nicht auswendig wissen, weil sie aus der offensichtlichen Tatsache $\begin{eqnarray} id_V\circ f=f\circ id_W \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f:V\to W, f\in Hom(V,W) \end{eqnarray}$ und Basen $\begin{eqnarray} B,B' \subset V; C,C' \subset W \end{eqnarray}$ durch Übesetzung in die Matrizenschreibweise folgt: $\begin{eqnarray} M_{C'}^C(id_V)M_{B'}^{C'}(f)=M_B^C(f)M_{B'}^B(id_W) \end{eqnarray}$ , und diese Gleichung muss man nur noch von links mit der inversen $\begin{eqnarray} (M_{C'}^C(id_V))^{-1} \end{eqnarray}$ einer Basiswechselmatrix multiplizieren. Die Bilder von $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ kann man nur bilden, wenn die Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ anderweitig bekannt ist. Vielleicht ist dein Ansatz richtig, probier's aus.

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