Abgeschlossenheit des orthogonalen Komplements

13.12.2015, 08:07

myrmos

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Abgeschlossenheit des orthogonalen Komplements

Ich sitze gerade ziemlich ratlos vor dem Beispiel:

Zeigen Sie, dass in dem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} <\mathbb{R}, d_2> \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ ist die euklidische Metrik) für jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} M\subseteq\mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ das orthogonale komplement $\begin{eqnarray*} M^\perp := {x\in \mathbb{R}^p : (x,y) = 0, y \in M} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, wobei $\begin{eqnarray*} (x,y) := \sum_{j=1}^px_jy_j \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie dann auch, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

Mir fällt zu dem ganzen kein Ansatz ein.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.

13.12.2015, 13:31

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RE: Abgeschlossenheit des orthogonalen Komplements
Du könntest untersuchen, ob das Komplement von $\begin{eqnarray*} M^\perp \end{eqnarray*}$ offen ist.
Oder du betrachtest für $\begin{eqnarray*} y\in M \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi_y:\mathbb{R}^p\to \mathbb{R}, x\mapsto (x,y) \end{eqnarray*}$ und begründest, dass $\begin{eqnarray*} \varphi_y^{-1}(\{0\}) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist

13.12.2015, 15:42

myrmos

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danke für den Tipp.

Die komplementäre Menge:

$\begin{eqnarray*} M^{\perp C}:=\{y \in \mathbb{R}^p\: (x,y) \neq 0 \forall y\in M\} \end{eqnarray*}$

Und meine Umgebung:

$\begin{eqnarray*} x\in M^{\perp C} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x) := \{y\in \mathbb{R}^p|\sqrt{\sum_{j=1}^p(y_j-x_j)^2} < \epsilon\} \end{eqnarray*}$

nur mir fällt nicht ein, wie ich $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen muss, so dass das Skalarprodukt immer $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist

13.12.2015, 15:59

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An deiner Definition des Komplementes stimmt so ungefähr gar nichts unglücklich

unglücklich

Ich ging bisher - warum auch immer - davon aus, dass du die Aufgabe mit topologischen Mitteln lösen willst. Ist dir der Zusammenhang zwischen abgeschlossenen Mengen und konvergenten Folgen bekannt?
Wenn dem so ist, dann nimm dir eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)\subset M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim x_n =x \end{eqnarray*}$ und zeige dass $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gilt

13.12.2015, 16:07

myrmos

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Du hast recht ich hab mich verschrieben

Ist das jetzt so richtig für die Komplementärmenge?

$\begin{eqnarray*} M^{\perp C}:=\{x \in \mathbb{R}^p|\forall y\in M ,(x,y) \neq 0 \} \end{eqnarray*}$

13.12.2015, 16:13

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Noch immer nicht, der Quantor ist falsch.
Wie ist das jetzt mit den konvergenten Folgen?

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13.12.2015, 16:17

myrmos

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$\begin{eqnarray*} M^{\perp C}:=\{x \in \mathbb{R}^p|\exists y\in M ,(x,y) \neq 0 \} \end{eqnarray*}$ [/latex]

Eine Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, wenn alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb{N}} x_n \in X \end{eqnarray*}$ gegen ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ konvergieren

13.12.2015, 16:21

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Komplement ist jetzt richtig. Willst du dessen Offenheit zeigen oder die Variante über die Folgen nehmen?
Letztere ist deutlich kürzer.

Allerdings fehlt in deiner Formulierung noch eine essentielle Voraussetzung an die Folge

13.12.2015, 16:22

myrmos

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Folgen hab ich lieber.

Was fehlt denn?

13.12.2015, 16:29

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Ich vermute, du hast Abkürzungen lieber Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Folge muss als konvergent vorausgesetzt werden.
Dann fang mal an, wie ich vorgeschlagen habe.

13.12.2015, 16:43

myrmos

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Ich hab jetzt gesagt:

sei $\begin{eqnarray*} x \not\in M^{\perp} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N}: d(x,x_n) < \epsilon : n \geq N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(x,x_n) = \sqrt{\sum_{j=1}^p (x_j-x_{nj})^2} < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^p x_j^2 + x_{nj}^2 -2\sum_{j=1}^px_jx_{nj} < \epsilon ^2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} -2\sum_{j=1}^px_jx_{nj} \neq 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt komm ich nicht weiter

13.12.2015, 17:03

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Viel zu kompliziert. Benutze die Stetigkeit des Skalarproduktes.

13.12.2015, 17:10

myrmos

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was meinst du mit Stetigkeit des Skalarproduktes?

13.12.2015, 17:29

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aus $\begin{eqnarray*} x_n\to x \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (x_n,u)\to (x,u) \end{eqnarray*}$ für jedes u

13.12.2015, 17:36

myrmos

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Vielleicht ist es die Müdigkeit, aber ich sehe nicht, wie das hilft

13.12.2015, 18:00

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Dann schlaf nochmal drüber. Dann überlegst du, welche Eigenschaft von x zu zeigen ist.

13.12.2015, 18:03

myrmos

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von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen ,dass $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 : U_\epsilon(x) \cap M^{\perp}= \emptyset \end{eqnarray*}$

13.12.2015, 18:05

myrmos

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also muss ich ein $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ finden, dass in der Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ liegt und nicht in $\begin{eqnarray*} M^\perp \end{eqnarray*}$ liegt

13.12.2015, 18:11

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Äh, nein

Zitat:

Wenn dem so ist, dann nimm dir eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)\subset M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim x_n =x \end{eqnarray*}$ und zeige dass $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gilt

13.12.2015, 18:14

myrmos

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also muss ich zeigen , dass wenn $\begin{eqnarray*} (x_n, u) = 0 \Rightarrow (x, u) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2015, 18:29

myrmos

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Der eine Fall geht, aber der andere bereitet mir noch Kopfzerbrechen:

$\begin{eqnarray*} d((x_n, u), (x, u))<\epsilon \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} u \in M^\perp \Rightarrow (x_n, u) = 0 \Rightarrow (x, u) = 0\Rightarrow x\in M^\perp) \end{eqnarray*}$

nur im Falle $\begin{eqnarray*} u \not\in M^\perp \end{eqnarray*}$ stehe ich auf der Leitung

13.12.2015, 18:29

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oh oh. es muss natürlich heißen:
Wenn dem so ist, dann nimm dir eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)\subset M^\perp \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim x_n =x \end{eqnarray*}$ und zeige dass $\begin{eqnarray*} x\in M^\perp \end{eqnarray*}$ gilt
Du willst schließlich die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} M^\perp \end{eqnarray*}$ zeigen.
Pardon!

Dann steht die Sache aber schon fast da: Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} x\in M^\perp \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (x,y)=0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} y\in M \end{eqnarray*}$ . Das geht aber schnell wegen $\begin{eqnarray*} (x,y)=(\lim x_n,y)=\lim(x_n,y)=0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$

13.12.2015, 18:34

myrmos

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Tschuldigung mein Fehler:

$\begin{eqnarray*} d((x_n, u), (x, u))<\epsilon \end{eqnarray*}$

also es reich zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} u \in M \Rightarrow (x_n, u) = 0 \Rightarrow (x, u) = 0\Rightarrow x\in M^\perp) \end{eqnarray*}$

13.12.2015, 18:35

myrmos

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Jetzt zum zweiten Teil der Aufgabe:

Wie kann ich mit diesem Argument zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ auch abgeschlossen ist?

13.12.2015, 18:58

myrmos

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Mim gleichen Argument nur in die andere Richtung

13.12.2015, 19:04

myrmos

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also

$\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb{R} c \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_n,c) = 0 \Rightarrow (x, c) = 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

13.12.2015, 19:49

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was soll denn $\begin{eqnarray*} (x_n,c) \end{eqnarray*}$ bedeuten?

13.12.2015, 20:14

myrmos

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ich habs definiert als:

$\begin{eqnarray*} (x, c) := x_rc_r + x_ic_i \end{eqnarray*}$

13.12.2015, 20:39

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Du definierst eine neue Verknüpfung - die übrigens ganz und gar kein Skalarprodukt ist - um die Abgeschlossenheit von R in C zu zeigen. Also ich glaube nicht, dass das der Sinn der zweiten Aufgabe ist.
Ich vermute, du sollst die metrischen Räume $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ miteinander identifizieren, dann in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ das vorher gezeigte anwenden und dann in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ zurück kehren.

13.12.2015, 21:59

myrmos

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das das kein Skalarprodukt ist, ist mir klar

Was meinst du mit identifizieren? z.B. eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2015, 13:58

myrmos

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Danke für deine große Hilfe. Ich habs gelöst. Wir haben C definiert als RxR

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