Potenzreihendarstellung

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13.12.2015, 14:08	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihendarstellung Ich möchte für $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1 + z^2}{1 - z} \end{eqnarray}$ die Potenzreihendarstellung haben.. $\begin{eqnarray} f(z) = (1 + z^2) \cdot \frac{1}{1 - z} = (1 + z^2) \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} z^n \end{eqnarray}$ Aber jetzt weiß ich schon wieder nicht mehr weiter.. In der Lösung schreibt man jetzt $\begin{eqnarray} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^n + z^2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} z^n \end{eqnarray}$ Wie kommt man darauf? Was ist mit der 1 passiert?
13.12.2015, 14:14	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihendarstellung Es wurde einfach ausmultipliziert... Denk dir die 1 vor die erste Summe Lg kgV
13.12.2015, 14:19	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Also einfach alles was in der Klammer steht mit der Summe multiplizieren?
13.12.2015, 14:20	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Yep (oder, wie ich es ausdrücken würde: Die Summe mit allem in der Klammer multiplizieren)
13.12.2015, 14:23	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay Dann komme ich zu $\begin{eqnarray} \sum_{n = 0}^{\infty} z^n + \sum_{n = 2}^{\infty} z^n \end{eqnarray}$ In der Lösung schreibt man das jetzt so um: $\begin{eqnarray} = 1 + z + 2\sum_{n = 2}^{\infty} z^n \end{eqnarray}$ Wie kommt man dabei auf 1 + z und die 2 vor der Summe`?
13.12.2015, 14:25	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Da stimmt etwas aber nicht ganz... was hast du denn mit der zweiten Summe gemacht?
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13.12.2015, 14:39	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache im Prinzip nichts, sondern versuche die Lösung nachzuvollziehen
13.12.2015, 14:45	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
da hab ich wohl ein bisschen gepennt, sry. Es wurde einfach das $\begin{eqnarray} z^2 \end{eqnarray}$ in die Summe multipliziert (erster Schritt) und dann wurde der Startindex um 2 nach oben verschoben, was darin resultiert, dass aus dem n+2 im Exponenten ein n wird. Das wird gemacht, dass man in der ersten Summe danach die ersten beiden Glieder getrennt herausschreiben und dann die beiden Summen, die dann exakt gleich sind, zusammenfassen kann. Daher kommt auch der 2er vor der Summe
13.12.2015, 14:49	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach stimmt, das hatten wir damals schonmal bei einer anderen Aufgabe.. Danke
13.12.2015, 14:58	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine andere Aufgabe.. Wieso rechnet man dann da $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} +\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} \end{eqnarray}$ Edit: Das Rätsel hab ich gerade selbst gelöst.. Aber wie kommt man dann auf die Endlösung?
13.12.2015, 15:10	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
das sind im Wesentlichen Potenzgesetze: $\begin{eqnarray} (-\frac x3)^n=(\frac13)^nx^n \end{eqnarray}$ . Selbes ist mit dem anderen Bruch passiert. Dann die Vorfaktoren in die Summengezogen (erklärt das n+1 im Exponent von 2 und 3) und die Summen zusammengenommen. Dann nohc x ausgeklammert und fertig
13.12.2015, 18:38	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du es bitte mal exemplarisch für die erste Summe aufschreiben?
13.12.2015, 22:48	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar doch: $\begin{eqnarray} \frac13\sum_{n=0}^\infty(-\frac x3)^n=\frac 13\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{3^n}x^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{3^{n+1}}x^n \end{eqnarray}$
14.12.2015, 14:17	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke, glaub ich hab es verstanden Könnte man denn jetzt auch wieder mit n = 1 beginnen, also $\begin{eqnarray} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n} \cdot x^n \end{eqnarray}$
14.12.2015, 15:37	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du bei 1 beginnen willst, musst du das erste Glied getrennt hinschreiben, also $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^n}{3^n}x^n=\frac{(-1)^0}{3^0}x^0+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^n}{3^n}x^n=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^n}{3^n}x^n \end{eqnarray}$
14.12.2015, 18:59	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich schau einfach mal was morgen wird. Fühle mich jedoch extrem schlecht vorbereitet
14.12.2015, 19:28	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel Glück Ruhig Blut bewahren und bei Indexverschiebungen aufpassen, dann haut das schon hin
14.12.2015, 19:51	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte Mathe allgemein. Es gibt zu viele Themen, die ich nicht oder nur sehr schlecht beherrsche; dazu im Gegensatz nur 1-2 Themen, bei denen ich auf volle Punktzahl hoffen kann.. Mal sehen Danke!

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