Kovergenz von der Reihe 1/k^r

13.12.2015, 14:58	tobi1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovergenz von der Reihe 1/k^r Hallo zusammen, die Aufgabe lautet: Untersuchen sie die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{unendlich} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^r} \end{eqnarray}$ , mit r=1,2,3,.. auf Konvergenz. Für r=1 ergibt sich logischerweise die harmonische Reihe, welche divergiert. Kann ich für r > 1 die Konvergenz mit Hilfe des Quotientenkriteriums zeigen? Also: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{(k+1)^r}}{\frac{1}{k^r}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{(k+1)^r} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \frac{k^r}{1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{k^r}{(k+1)^r} \end{eqnarray}$ < 1 Das erscheint mir eigentlich ein bisschen zu einfach?
13.12.2015, 15:30	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nein, das Quotientenkriterium zieht bei diesen Reihen nicht. Warum nicht, siehst du, wenn du nochmal sehr genau die Voraussetzungen prüfst und dann feststellst, dass mehr gefordert ist, als $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{(k+1)^r}}{\frac{1}{k^r}} < 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Wenn du schon den Cauchy Verdichtungssatz zur Verfügung hast, kannst du diesen darauf anwenden. Falls nicht, weißt du schon, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ konvergiert?
13.12.2015, 15:52	tobi1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hatten das Verdichtungskriterium schon, bin aber vorher nicht auf die Idee gekommen es hier anzuwenden. Damit war es auch ganz einfach, danke dir

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