Funktionentheorie Integralproblem

13.12.2015, 14:14

Bang56

Funktionentheorie Integralproblem

Meine Frage:
Hallo, ich muss dieses Integral loesen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \! \sin(x) ^{2n} \, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe erstmal die e darstellung von sinus gewaehlt:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi } \! (\frac{e^{ix}-e^{-ix} }{2i}) ^{2n} \, dx \end{eqnarray*}$
und ich dachte mir jetzt wenn ich nun $\begin{eqnarray*} e^{ix}=t \end{eqnarray*}$ substituire bekomme ich vielleicht eine singularitaet hin so das ich mit dem residuensatz auf ein flottes ergebnis komme, jedoch komme ich ueber die substitution auf dieses ergebniss :
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{i(2i)^{2n} } \cdot \int_{1}^{1} \! \frac{(t^{2}-t)^{2n} }{t^{2n+1} } \, dt \end{eqnarray*}$ mein problem ist jetzt das mir das integral nicht gefaellt mit den grenzen 1 bis 1 ....
Und die singularitaet waere bei t=0 aber $\begin{eqnarray*} e^{ix}=t=0 \end{eqnarray*}$ kann es garnicht werden da e nicht 0 wird oder verstehe ich das gerade falsch ?

danke schonmal im vorraus

LG bang56

13.12.2015, 14:24

Bang56

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ups hab einen kleinen fehler beim letzten integral, es muesste
$\begin{eqnarray*} \frac{(t^{2}-1) ^{2n} }{t^{2n+1} } \end{eqnarray*}$

13.12.2015, 14:25

Guppi12

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Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob man das auch funktionentheoretisch lösen kann. Es geht aber eigentlich sehr leicht elementar.

Setze $\begin{eqnarray*} I_n := \int_0^{2\pi}\sin^n(x) \end{eqnarray*}$ und leite jetzt mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \sin^{2n}(x) = \sin^{2n-1}(x)\sin(x) \end{eqnarray*}$ und partieller Integration einer Rekursionsformel der Art $\begin{eqnarray*} I_{2n} = c_{2n}I_{2n-2} \end{eqnarray*}$ her.

13.12.2015, 17:57

Bang56

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Naja es ist ne Aufgabe von der funktionentheorie Vorlesung Big Laugh

ich probiere es aber trotzdem mal rekursiv aus interesse.

Könnte mir sonst jemand einen Tipp vielleicht geben wie es komplex zu lösen wäre?

13.12.2015, 23:09

Leopold

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Du kannst das mit dem Residuensatz erledigen. Integriere dazu die Funktion

$\begin{align*} f(z) = \color{green} - \operatorname{i} \color{black} \cdot \color{red} \frac{(-1)^n}{4^n} \color{black} \cdot \color{green} \frac{1}{z} \color{black} \cdot \color{blue} \left( z - \frac{1}{z} \right)^{\color{black} 2n} \end{align*}$

über den Einheitskreis $\begin{align*} z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \, , \ 0 \leq t \leq 2 \pi \end{align*}$ .

Die Klammer erzeugt im wesentlichen den Sinus. Die Faktoren beseitigen den störenden Faktor, der vom Differential stammt. Die Faktoren korrigieren den $\begin{align*} 2 \operatorname{i} \end{align*}$ -Teil aus $\begin{align*} \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} - \operatorname{e}^{- \operatorname{i}t} = 2 \operatorname{i} \sin t \end{align*}$ , in die $\begin{align*} 2n \end{align*}$ -te Potenz erhoben. Probiere es aus.

Es ist also

$\begin{align*} f(z) = - \operatorname{i} \cdot \frac{(-1)^n}{4^n} \cdot \frac{(z^2-1)^{2n}}{z^{2n+1}} \end{align*}$

zu integrieren. Die einzige Singularität im Einheitskreis ist $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ . Für das Residuum braucht man den Summanden mit $\begin{align*} z^{2n} \end{align*}$ , wenn man $\begin{align*} (z^2-1)^{2n} \end{align*}$ nach dem binomischen Satz entwickelt. Zusammen mit dem Nenner $\begin{align*} z^{2n+1} \end{align*}$ liefert dieser den $\begin{align*} \frac{1}{z} \end{align*}$ -Beitrag. Es ist

$\begin{align*} (z^2 - 1)^{2n} = \ldots + {{2n} \choose n} (-1)^n z^{2n} + \ldots \end{align*}$

Das Residuum von $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ bei $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ ist daher

$\begin{align*} a = - \operatorname{i} \cdot \frac{(-1)^n}{4^n} \cdot {{2n} \choose n} \cdot (-1)^n = - \operatorname{i} \cdot \frac{1}{4^n} {{2n} \choose n} \end{align*}$

14.12.2015, 11:54

Bang56

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Vielen vielen Dank für die Antwort.
mir ist der Binomischelehrsatz nicht in den Sinn gekommen.

Eine Frage hab ich aber noch, wieso reicht uns der Summand mit dem $\begin{eqnarray*} z^{2n} \end{eqnarray*}$ ?
Das verstehe ich nicht 100%

LG Bang

14.12.2015, 22:07

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Für das Residuum braucht man den Summanden mit $\begin{align*} z^{2n} \end{align*}$ , wenn man $\begin{align*} (z^2-1)^{2n} \end{align*}$ nach dem binomischen Satz entwickelt. Zusammen mit dem Nenner $\begin{align*} z^{2n+1} \end{align*}$ liefert dieser den $\begin{align*} \color{red} \frac{1}{z} \end{align*}$ -Beitrag.

15.12.2015, 09:48

Guppi12

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Dass man in einer Vorlesung X nur Methoden der Vorlesung X nutzen kann/darf, ist übrigens Blödsinn. Das wollte ich mal allgemein gesagt haben, man hört die Grundlagenvorlesungen ja nicht umsonst.

Nichtsdestotrotz ist der Weg von Leopold natürlich auch ein schöner Ansatz, nutzt er doch eine vollkommen andere Methode. Es ist interessant, zu sehen, wie man auf zwei völlig verschiedene Arten auf das gleiche Ergebnis kommt. Für ein schnelleres Erlegen des Spatzen sorgen die Kanonen hier aber nicht.

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