Matrix einer Projektion

13.12.2015, 15:32	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix einer Projektion Ich muss mich wieder an euch wenden, Leute. Wir hatten das Thema Projektion noch nicht, aber ich finde auch für diese Frage keine passende Literatur oder Ergebnisse hier. Aufgabe Eine line Abbildung heißt Projektion, wenn gilt: f o f = f Sei f: $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} ->\mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ eine Projektion und (5,8) ein Element des Kerns und (8,13) ein Element des Bildes. Wie lautet die Matrix $\begin{eqnarray} M_{B}^{C}(f) \end{eqnarray}$ , bei B = C = kanonische Einheitsbasis. Nun möchte ich das gerne analytisch lösen, also habe ich mir überlegt: Wenn zu f die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gehört, dann muss doch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. Das würde mich zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a^{2}+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^{2} \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ führen. also $\begin{eqnarray} a=a^{2}+bc \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = b(a+d) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=c(a+d) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d = cb+d^{2} \end{eqnarray}$ Aber das bringt mich nicht weiter. Ist der Ansatz schon falsch?
13.12.2015, 17:09	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest Dir beispielsweise die zweite und dritte Gleichung näher anschauen. Da lässt sich eine Menge folgern.
13.12.2015, 18:00	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das heißt d=1-a Und b und c sind demnach beliebig. Oder?
13.12.2015, 18:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nur eine der beiden Möglichkeiten. Es gibt noch einen Fall, in dem b=b(a+d) gilt.
13.12.2015, 18:53	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn b =0
13.12.2015, 20:53	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Der einfachere Fall. Um es vorweg zu nehmen: Er hilft Dir aber nicht bei der Lösung dieser Aufgabe, sondern nur bei der Bestimmung aller 2x2-Projektionsmatrizen. Für $\begin{eqnarray} a+d \neq 1 \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} b=0 \Rightarrow a^2=a \wedge d^2=d \wedge c=0 \end{eqnarray}$ Diese vier Matrizen genügen aber nicht der Forderung in der Aufgabe. Du kannst also von $\begin{eqnarray} a+d=1 \end{eqnarray}$ ausgehen.
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14.12.2015, 20:22	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe eine Lösung Ich habe mir gedacht, dass gelten muss: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\8 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 8 \\13 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das brachte mich zum LGS: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5a + 8b = 0 \\ 5c+8d = 0\\ 8a+13b = 8\\ 8c+13d = 13 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ welches mir die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -64 & 40 \\ -104 & 65 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ brachte.
14.12.2015, 22:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann können wir uns den langen Weg ja sparen Hatte ihn auch nur beschritten, weil das dein erster Ansatz war. Anstatt der allgemeinen Matrix hättest Du auch spezieller ansetzen können. Aufgrund der Tatsache, dass $\begin{eqnarray} dim(kern(f))=dim(Im(f))=1 \end{eqnarray}$ muss A nämlich die Gestalt $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}8a&8b\\13a&13b\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ haben.

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