Kolmogorov-Axiome

13.12.2015, 18:32

Jonas96

Kolmogorov-Axiome

Meine Frage:
Guten Abend,

bin gerade am Verzweifeln unglücklich

Folgendes sei gegeben:

3 Glühlampen (a1,a2,a3) in einer Reihenschaltung werden von einem Stromdurchflossen. Das i-te Glühlämpchen brennt durch unabhängig voneinander mit den konstanten Wahrscheinlichkeit pi=0,2 für (i=1,2.3). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Stromkreisunterbrechung (Ereignis B)?

Meine Ideen:
Ich weiß das $\begin{eqnarray*} P(B^{c} ) \end{eqnarray*}$ bestimmt werden soll. Also wäre es ja die Wahrscheinlichkeit das das Ereignis B nicht Eintritt.

Aber wieso kann ich nicht sofort bestimmen das Ereignis B Eintritt?

Also sprich: $\begin{eqnarray*} P(B)=P(A1\cap A2\cap A3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B)=P(0,2^{3} ) \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber sage B tritt nicht ein kommt Folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} P(B^{c} )=P(A1^{c} \cap A2^{c} \cap A3^{3} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B^{c} )=P((1-0,2)\cdot (1-0,2)\cdot (1-0,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(0,512) \end{eqnarray*}$

Ist das festgelegt das immer nur die Gegenwahrscheinlichkeiten bestimmt werden können?

Wieso nutzt man eigentlich die Schnittmenge, hatte erst an die Vereinigungsmenge gedacht?

Kann man sich merken das wenn die Schnittmenge gesucht wird immer die Werte multipliziert werden?

Mit freundlichen Gruß

Jonas

13.12.2015, 19:43

HAL 9000

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RE: Kolmogorov-Axiome

Zitat:

Original von Jonas96
Also sprich: $\begin{eqnarray*} P(B)=P(A1\cap A2\cap A3) \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} A_1\cap A_2\cap A_3 \end{align*}$ ist das Ereignis, dass alle drei Birnen durchbrennen. Ist nicht nötig dafür, dass die Reihenschaltung versagt - dafür reicht bereits eine einzige durchgebrannte Birne. unglücklich

Richtig ist also $\begin{align*} P(B)=P(A_1\cup A_2\cup A_3) \end{align*}$ , was per DeMorgan äquivalent ist zu $\begin{align*} P(B^c)=P(A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c) \end{align*}$ .

14.12.2015, 09:42

Jonas96

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Vorweg schon mal Danke für die Rückmeldung..

Das mit der Vereinigungsmenge leuchtet mir ein bisschen ein, quasi das A1 oder A2 oder A3, eine der genannten reicht um den Stromfluss zu unterbrechen.

Ich bin aber noch ein bisschen verwirrt. Habe mal ein bisschen weiter gegrübelt, wenn ich das auf die Wahrscheinlichkeit 0,2 beziehe sind die A´s doch alle Teilmengen. Denn jedes Element (Wahrscheinlichkeit 0,2) ist doch auch im anderen vorhanden?

Mit freundlichem Gruß

Jonas

14.12.2015, 09:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jonas96
Habe mal ein bisschen weiter gegrübelt, wenn ich das auf die Wahrscheinlichkeit 0,2 beziehe sind die A´s doch alle Teilmengen. Denn jedes Element (Wahrscheinlichkeit 0,2) ist doch auch im anderen vorhanden?

Wenn man von "enthalten sein" spricht, dann bedeutet das in der Mengenterminologie i.d.R. "vollständig enthalten", also Teilmenge. In dem Sinne ist diese deine Aussage falsch.

Falls du "teilweise enthalten" meinst, mathematisch ausgedrückt "nichtleerer Durchschnitt", dann hast du Recht - nur was soll das hier? Es hilft jetzt nicht direkt bei der Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit.

14.12.2015, 10:23

Jonas96

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Ich habe arge Probleme Aufgaben mit den Kolmogorov-Axiomen zu lösen. Sprich so recht weiß ich nicht bei den Aufgaben ob es sich um eine Teilmenge, Schnittmenge, Vereinigungsmenge etc. handelt.

Die Begrifflichkeiten sind mir bekannt z.B das die Schnittmenge die Menge aller Elemente ist, die sowohl in A als auch in B ist.

Nur dies auf die Aufgaben zu übertragen wir in meinen Beispiel mit der Glühlampe, das sich dies um eine Vereinigungsmenge bekomm ich einfach nicht hin...

14.12.2015, 11:12

HAL 9000

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Das liegt dann aber nicht an den Kolmogorov-Axiomen, sondern an generellen Interpretationsschwierigkeiten deinerseits, was Durchschnitt und Vereinigung von Mengen/Ereignissen betrifft.

Der gesamte Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ besteht aus sogenannten Elementarereignissen $\begin{align*} \omega \end{align*}$ . Ereignisse wie die $\begin{align*} A_k \end{align*}$ sind nun Teilmengen von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ , bestehen demnach aus solchen Elementarereignissen. Man sagt nun "das Ereignis A tritt ein", wenn der Zufall ein Elementarereignis $\begin{align*} \omega \end{align*}$ gewählt hat, welches in $\begin{align*} A \end{align*}$ liegt. Entsprechend dem auf $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ betrachteten Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{align*} P \end{align*}$ kann man diesem Ereignis dann eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.

Der Durchschnitt von Mengen enthält die Elemente, die in allen beteiligten Mengen enthalten sind. Entsprechend tritt der Durchschnitt von Ereignissen genau dann ein, wenn alle am Durchschnitt beteiligten Ereignisse eintreten.

Die Vereinigung von Mengen enthält dagegen die Elemente, die in wenigstens einer der beteiligten Mengen enthalten sind. Entsprechend tritt die Vereinigung von Ereignissen genau dann ein, wenn wenigstens eins der beteiligten Ereignisse eintritt. Genau das ist hier bei den Lampen der Fall: Die Reihenschaltung fällt aus, wenn wenigstens eine der Lampen defekt ist.

14.12.2015, 11:39

Jonas96

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Vielen vielen Dank...

Hab es nun verstanden...Du hattest Recht meine Interpretationen waren falsch.... Freude

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