Varianz einer stetigen Variablen

13.12.2015, 18:34

Wulfric

Varianz einer stetigen Variablen

Meine Frage:
Ich habe gerade mit Statistik begonnen und meine Frage ist deshalb eher einfach, aber ich wollte trotzdem kurz überprüfen, weil ich nirgendwo eine Lösung habe und gerne sicher wäre.

Gefragt ist die Varianz einer stetigen Zufallsvariable X, für deren Dichte gilt:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq x \leq 3 \Rightarrow f_{X} = \frac{x}{4} \end{eqnarray*}$
Sonst 0

Meine Ideen:
Mein Lösungsansatz wäre folgender:

$\begin{eqnarray*} E(X) = E(X^2) - E(X)^2 \\ E(X) = \int_{1}^{3} \! x*\frac{x}{4} \, dx = 2,1667 \\ E(X^2) = \int_{1}^{3} \! x * \frac{x^2}{16} \, dx = \frac{5}{4} \\ \Rightarrow V(X) = \frac{5}{4} - 2,1667^2 = -3,4446 \end{eqnarray*}$

Ich habe einzelne Rechenschritte wie Teile der Integralrechnung (dort, wo es 0 ergibt), bereits weggelassen. Am meisten Sorgen macht mir eigentlich das E(X^2). Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand drüberschaut.

13.12.2015, 18:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Wulfric
$\begin{eqnarray*} E(X) = E(X^2) - E(X)^2 \end{eqnarray*}$

Wohl ein Schreibfehler - du meinst sicher $\begin{eqnarray*} V(X) = E(X^2) - E(X)^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Wulfric
$\begin{eqnarray*} E(X) = \int_{1}^{3} \! x*\frac{x}{4} \, dx = 2,1667 \end{eqnarray*}$

Stimmt.

Zitat:

Original von Wulfric
$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \int_{1}^{3} \! x * \frac{x^2}{16} \, dx = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Falsche Formel. unglücklich

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} E(X^2) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2\cdot f_X(x) ~ \dd x = \int\limits_1^3 x^2\cdot \frac{x}{4} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

13.12.2015, 19:16

Wulfric

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Oh verdammt! Ich glaube, mir ist nicht ganz klar, wie das zu interpretieren ist, deshalb verwechsle ich es ständig.
Kannst du in Worten erklären, warum, wenn man den Erwartungswert einer quadrierten ZV X sucht, nicht der Funktionswert von x^2 in der Dichtefunktion genommen wird, sondern schlicht mit der quadrierten Häufigkeit (mir fehlt hier das richtige Fachwort) gerechnet wird?

13.12.2015, 19:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Wulfric
warum, wenn man den Erwartungswert einer quadrierten ZV X sucht, nicht der Funktionswert von x^2 in der Dichtefunktion genommen wird, sondern schlicht mit der quadrierten Häufigkeit (mir fehlt hier das richtige Fachwort) gerechnet wird?

Soll ich für alle falschen Formeln begründen, warum man sie nicht nehmen darf? Ziemlich unsinnige Herangehensweise - ich mag es lieber konstruktiv. unglücklich

Die Formel $\begin{align*} E(g(X)) = \int\limits_{\Omega} g(X(\omega)) ~ \dd P(\omega) = \int\limits_{\mathbb{R}} g(x) ~ \dd P_X(x) \end{align*}$ gilt universell für alle reellen Zufallsgrößen und ergibt sich aus dem Transformationssatz für Lebesgue-Integrale, bei der Transformation vom Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{align*} P \end{align*}$ zum Bildmaß $\begin{align*} P_X \end{align*}$ .

Ist nun die Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ stetig, so ist dieses Bildmaß $\begin{align*} P_X \end{align*}$ absolutstetig bezüglich des eindimensionalen Lebesgue-Maßes $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ mit Dichte $\begin{align*} f_X \end{align*}$ , so folgt $\begin{align*} E(g(X)) = \int\limits_{\mathbb{R}} g(x)\cdot f_X(x) ~ \dd\lambda(x) \end{align*}$ . Ist $\begin{align*} g(x)\cdot f_X(x) \end{align*}$ (uneigentlich) riemann-integrierbar, so kann man das dann auch per $\begin{align*} E(g(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{align*}$ berechnen. Das gilt natürlich insbesondere auch für die Funktion $\begin{align*} g(x)=x^2 \end{align*}$ .

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