Wie soll man zeigen, dass Pi größer als 3 ist?

14.12.2015, 00:09	inh8m	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll man zeigen, dass Pi größer als 3 ist? Guten Abend, ich raetsel gerade an einer Analysis Aufgabe rum und habe keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.. Die Aufgabenstellung heisst: Zeigen Sie $\begin{eqnarray} \pi > 3 \end{eqnarray}$ . Hinweis: Die am Ende erforderliche Bruchrechnung kann mit einem Taschenrechner erledigt werden. Bin durch die Unterlagen der Vorlesungen durchgegangen und hab erstmal die Definition von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ gefunden: Die Kreiszahl $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ist dadurch definiert, dass $\begin{eqnarray} \pi/2 \end{eqnarray}$ die eindeutig bestimmte Nullstelle des Cosinus in $\begin{eqnarray} ]0,2[ \end{eqnarray}$ ist. Damit kann ich leider auch nichts anfangen.. Hab weiterhin das Internet durchstoebert, darunter auch eine Definition von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ in Wikipedia gefunden: "In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau) festzulegen." Die Definition versteh ich auch kaum.. Koenntet ihr mir vielleicht einen Ansatz geben? Vielen Dank im Vorraus.
14.12.2015, 04:20	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die cosinusreihe beginnt doh mit: $\begin{eqnarray} \cos(x)\approx 1-\frac {x^2}{2}+\frac {x^4}{24 } - ... \end{eqnarray}$ Da könnte man doch versuchen die Nullstelle bei $\begin{eqnarray} x=1.51 \approx \tfrac \pi 2 \end{eqnarray}$ zu finden.
14.12.2015, 08:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn einem sonst nichts einfällt, geht es natürlich auch so: Man nutzt die herkömmlichen, aber hier eben nicht verwendeten Definitionen für Sinus/Kosinus im Einheitskreis zur Definition entsprechender Funktionen $\begin{align} s(x),c(x) \end{align}$ , hat dann per Definition schon den Wertebereich $\begin{align} [-1,1] \end{align}$ sowie die Lage der Null- und Extremstellen, weist über ihre geometrischen Eigenschaften die Additionstheoreme $\begin{align} s(x+y) = s(x)c(y)+c(x)s(y) \end{align}$ $\begin{align} c(x+y) = c(x)c(y)-s(x)s(y) \end{align}$ für alle reellen $\begin{align} x,y \end{align}$ nach, sowie auch $\begin{align} \lim_{x\to 0} \frac{s(x)}{x}=1 \end{align}$ . Damit kann man dann die Ableitungen $\begin{align} s'(x)=c(x),c'(x)=-s(x) \end{align}$ nachweisen und kommt schließlich über die Taylorreihe dazu, dass $\begin{align} c(x)=\cos(x) \end{align}$ gemäß deiner Reihendefinition ist. Damit stimmen speziell auch die ersten positiven Nullstellen von $\begin{align} c \end{align}$ und $\begin{align} \cos \end{align}$ überein, was dann nach der Einheitskreisdefinition von $\begin{align} c \end{align}$ das Bogenmaß des Viertelkreiswinkels ist. Und für das $\begin{align} \frac{\pi}{2} > \frac{3}{2} \end{align}$ nachzuweisen, ist nun nicht so schwer - z.B. durch Einschreiben eines regelmäßigen Sechsecks in den Kreis.
14.12.2015, 11:27	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal die Idee von Dopap etwas ausgeführt: Für $\begin{eqnarray} \|x\|\leq 3 \end{eqnarray}$ ist die Cosinusreihe ab dem $\begin{eqnarray} 2. \end{eqnarray}$ Glied im Betrag fallend. Daraus folgt aus dem Leibniz-Kriterium, dass $\begin{eqnarray} 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} \leq \cos(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in[0,3] \end{eqnarray}$ . Es reicht jetzt, zu zeigen, dass die erste positive Nullstelle von $\begin{eqnarray} 1-\frac{z}{2}+\frac{z^2}{24}-\frac{z^3}{720} \end{eqnarray}$ größer ist als $\begin{eqnarray} \frac{9}{4} \end{eqnarray}$ . Dafür setzt man diesen Wert ein und betrachtet zusätzlich die Ableitung dieses Ausdrucks für $\begin{eqnarray} z\in[0,9/4] \end{eqnarray}$ .
14.12.2015, 19:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hier eh alle Ideen einwerfen, zwei schöne (?) Methoden, die aber ggf. mehr Kenntnisse verlangen: 1. Es ist $\begin{eqnarray} \frac{22}7-\pi=\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,\dx\leq\int_0^1x^4(1-x)^4\,\dx=\frac1{630} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \pi\geq\frac{22}7-\frac1{630}>3\,. \end{eqnarray}$ 2. Wenn bekannt ist, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray}$ , dann summiere man so viele Terme auf, bis man über $\begin{eqnarray} \frac32 \end{eqnarray}$ ist. So ähnlich könnte man auch "ganz elementar" den Arcuscosinus in eine Reihe entwickeln, ihn bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ auswerten und abbrechen, sobald $\begin{eqnarray} \frac32 \end{eqnarray}$ aus dem Fehlerbereich verschwunden ist.

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