Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

14.12.2015, 13:25

Alex0204

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Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Hallo zusammen,

und schon wieder quält mich eine Aufgabe wo ich in der Sackgasse stecke. Da ich gerne überprüfen würde, ob ich hier einen Rechenfehler gemacht habe bzw. was ich falsch verstehe, bin ich nicht zuuuu ausgiebig über die Suchfunktion gegangen.

Hier nun zur Aufgabe.

Kurvendiskussion für $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{2x} - e^{-x} \end{eqnarray*}$

1. Ableitung ist bei mir $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2e^{2x} + e^{-x} \end{eqnarray*}$

Nun prüfe ich auf Nullstellen der 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x} + e^{-x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = ln(2e^{2x}) + ln(e^{-x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = ln(2) + ln(e^{2x})+ln(e^{-x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = ln(2) + 2x - x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = -ln(2) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das in $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ einsetze, kommt aber nicht 0 raus und das macht bei genauem Hinsehen auch Sinn, da zwei e-Funktionen addiert nie 0 werden können, da e-Funktionen nicht Null werden können.

Wo mache ich da den Rechenfehler und wie kann ich beweisen, dass es keine Nullstelle in der ersten Ableitung gibt?

Viiiiielen Dank erneut für eure Hilfe!

14.12.2015, 13:36

klarsoweit

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Zitat:

Original von Alex0204
$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x} + e^{-x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = ln(2e^{2x}) + ln(e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Und hier liegt schon das Problem. Du wendest da ein Logarithmusgesetz an, das es gar nicht gibt. unglücklich

unglücklich

Ich würde an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Alex0204
$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x} + e^{-x} \end{eqnarray*}$

die Gleichung einfach mal mit e^x multiplizieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.12.2015, 13:37

gast1412

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Du hast falsch logarithmiert. Du darfst bei Summen nicht so vorgehen.

Klammere e^(-x) aus und wende den Satz vom Nullprodukt an.

14.12.2015, 13:42

Alex0204

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Wenn ich in der Gleichung die e-Zahl eliminieren will, muss ich doch grundsätzlich den ln anwenden und in dem Fall natürlich auf beide Summanden?!

14.12.2015, 13:50

Alex0204

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Zitat:

Original von gast1412
Du hast falsch logarithmiert. Du darfst bei Summen nicht so vorgehen.

Klammere e^(-x) aus und wende den Satz vom Nullprodukt an.

$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x} + e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = e^{-x} * (2e^{-1} + 1) \end{eqnarray*}$

So richtig?

Der Satz vom Nullprodukt sagt, dass das Produkt Null wird, wenn einer der beiden Teile Null wird. $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ kann nicht 0 werden und rechts steht eine fixe Zahl die ich ohne Taschenrechner nicht ausrechnen kann....wie kann ich nun sagen, dass das anze nicht 0 werden kann. Ich finde, dass man das nocht nicht direkt sieht...also ich nicht smile

smile

14.12.2015, 13:52

Alex0204

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Zitat:

Original von klarsoweit

Ich würde an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Alex0204
$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x} + e^{-x} \end{eqnarray*}$

die Gleichung einfach mal mit e^x multiplizieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann steht da

$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x^2} + e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Ich erkenne immer noch nichts unglücklich

unglücklich

Da fangen wir gerade mit der Auffrischung der Mathekenntnisse für die Uni an und dann haut der uns als Hausaufgabe so eine Kurvendiskussion hin unglücklich

unglücklich

Bin echt frustiert

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14.12.2015, 13:56

gast1412

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Du hast falsch ausgeklammmert. Es muss lauten:

e^-x(2e^3x -1)

Mach mal die Probe bei deiner Version, indem du die Klammer wieder ausmultiplizierst.

14.12.2015, 14:11

Steffen Bühler

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Zitat:

Original von gast1412
e^-x(2e^3x -1)

Vorzeichenfehler: $\begin{align*} e^{-x} \cdot (2e^{3x} \color{red}+\color{black}1) \end{align*}$

Viele Grüße
Steffen, schon wieder weg.

14.12.2015, 14:13

Alex0204

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Zitat:

Original von gast1412
Du hast falsch ausgeklammmert. Es muss lauten:

e^-x(2e^3x -1)

Mach mal die Probe bei deiner Version, indem du die Klammer wieder ausmultiplizierst.

Ok, den vorderen Teil kann ich jetzt nachvollziehen aber warum -1 ? es muss doch wieder + e^-x dastehen und nicht - e ^ -x

14.12.2015, 14:23

gast1412

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
-1 war ein Tippfehler. Sorry.

14.12.2015, 14:27

klarsoweit

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Zitat:

Original von Alex0204

Zitat:

Original von klarsoweit

Ich würde an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Alex0204
$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x} + e^{-x} \end{eqnarray*}$

die Gleichung einfach mal mit e^x multiplizieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann steht da

$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x^2} + e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Du hast offensichtlich ein Problem mit der korrekten Handhabung von Potenz- und Logarithmusregeln. smile

smile

14.12.2015, 14:41

Alex0204

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Ja, ganz offensichtlich....ich hab nochmal nachgesehen.

Potenzen multiplizieren heißt Hochzahl addieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x} + e^{-x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |* e ^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{3x} + e^{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{2x} + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} = e^{2x} \end{eqnarray*}$

Und dann ists vorbei weil der ln von einer negtiven Zahl nicht definiert ist....richtig?

14.12.2015, 14:49

gast1412

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Richtig bis auf den Tippfehler: Im Exponenten bleibt es bei 3x. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.12.2015, 15:02

Alex0204

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Ok, bis auf den Tippfehler.
Das heißt dann, es gibt keine lokalen Extremstellen bei dieser Funktion.
Wie kann ich trotzdem nun die Monotonie mathematisch beschreiben?

14.12.2015, 15:30

klarsoweit

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Du mußt die Bereiche finden, wo die 1. Ableitung positiv bzw. negativ ist. smile

smile

14.12.2015, 16:36

Alex0204

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Zitat:

Original von klarsoweit
Du mußt die Bereiche finden, wo die 1. Ableitung positiv bzw. negativ ist. smile

smile

Ok, das heißt dann:

$\begin{eqnarray*} 2e^{2x}+1 < 0 \end{eqnarray*}$

und wann

$\begin{eqnarray*} 2e^{2x}+1 > 0 \end{eqnarray*}$

Kann man das weiter auflösen? Den ln von einer negativen Zahl kann ich ja wieder nicht ziehen...........ich weiß, man soll hier helfen damit man selber auf die Lösung kommt aber ein wenig mehr Hilfe wäre toll weil ich fest stecke unglücklich

unglücklich

15.12.2015, 08:16

klarsoweit

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Manchmal helfen einfachste Überlegungen:
Die e-Funktion liefert immer positive Werte. Die Multiplikation mit 2 sowie die anschließenden Addition von 1 ändern nichts an diesem Zustand. Mithin ist also $\begin{eqnarray*} 2e^{2x}+1 \end{eqnarray*}$ immer positiv und niemals negativ. smile

smile

15.12.2015, 08:34

Alex0204

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?
Vielen Dank dir!

Diese Überlegungen hatte ich bereits, versuchte aber bzw. dachte dass mathematisch noch konkreter bzw. eindeutiger schreiben zu können z.B. durch eine falsche oder wahre Aussage die etwas kürzer und pregnanter ist als die Terme oben.

Sowas würde also als Antwort genügen denkst du?

Das ^2x in der e-Funktion macht diese aber der y-Achse nur steiler, richtig?

15.12.2015, 08:39

klarsoweit

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RE: Ableitung einer zusammengesetzen e-Funktion, Rechenfehler?

Zitat:

Original von Alex0204
Sowas würde also als Antwort genügen denkst du?

Ich würde das akzeptieren. Wer das unbedingt in mathematischen Ausdrücken sehen will:

$\begin{eqnarray*} e^{2x} > 0 \Rightarrow 2e^{2x} > 0 \Rightarrow 2e^{2x} + 1> 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Alex0204
Das ^2x in der e-Funktion macht diese aber der y-Achse nur steiler, richtig?

Ja.

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