Lineare Abbildungen

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uma12 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen
Meine Frage:
Hallo Augenzwinkern

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Bestimmen Sie für die lineare Abbildung jeweils die Matrix der Abbildung bezüglich der Basis {(1,1),(1,-1)}
des und {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} des

(i)

Meine Ideen:


Das muss erfüllt sein damit eine Abbildung linear ist.



Hoffe man kann das so schreiben....

Rechnung:



???

Ist das so weit überhaupt richtig ???
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Lass es mich mal positiv formulieren : Der zweite Schritt ist ok. Dafür sind die anderen beiden aber ziemlich in die Hose gegangen.
Es ist ungünstig die Eingangsvektoren genau so zu benennen, wie die Koordinaten in der Abbildung.
Versuch es nochmal mit v und w anstatt x und y.
 
 
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das richtig verstanden habe :



Also hätten wir dann nicht einfach statt x und y dann v und w ?
Oder was hab ich bei den Rechenschritten noch falsch gemacht?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist hoffentlich klar, dass v und w zweidimensionale Vektoren sind.
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es mal anders versucht.
Und zwar:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von uma12

Korrekt ist:

smile
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Wusste nicht wie man im index schreibt.
Stimmt die Rechnung so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja (sonst hätte ich schon den Finger gehoben).
Mir ging es nur um den Fehler in der 1. Zeile.
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre ja erst nur die Additivität gezeigt. Fehlt noch die Homogenität :



Somit wäre diese Abb. doch linear?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile

Hier ist noch ein Schreibfehler:
Zitat:
Original von uma12

uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt.

Richtig wäre es so :



Dann hätten wir eine lineare Abbildung.

Wie bestimme ich nun die Matrix der Abbildung bezüglich der Basis?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da hilft der Besuch der entsprechenden Vorlesung oder ein Blick in das Vorlesungsskript (soweit vorhanden).

Ansonsten nehme dieses Rezept: Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren des Urbildraums bezüglich der Basis des Bildraums.

Ich höre schon das Häää? Also was ist zu tun?

Für jedes i mit 1 <= i <= 2 führe die folgenden Schritte durch:

1. bestimme für den i-ten Basisvektor v_i das Bild f(v_i)

2. stelle f(v_i) in der Basis des Bildraums dar.

3. der betreffende Koordinatenvektor bildet die i-te Spalte deiner Abbildungsmatrix
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabeenstellung steht ja

Bestimmen Sie für die lineare Abbildung jeweils die Matrix der Abbildung bezüglich der Basis {(1,1),(1,-1)}
des und {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} des

Was soll ich dann mit der Basis {(1,1),(1,-1)} und {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} anfangen?
unglücklich

Bin überfragt sorry
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von uma12
Was soll ich dann mit der Basis {(1,1),(1,-1)} und {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} anfangen?

Ich finde, das hat klarsoweit hier mehr als deutlich gemacht:

Zitat:
Original von klarsoweit
Ansonsten nehme dieses Rezept: Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren des Urbildraums bezüglich der Basis des Bildraums.

Ich höre schon das Häää? Also was ist zu tun?

Für jedes i mit 1 <= i <= 2 führe die folgenden Schritte durch:

1. bestimme für den i-ten Basisvektor v_i das Bild f(v_i)

2. stelle f(v_i) in der Basis des Bildraums dar.

3. der betreffende Koordinatenvektor bildet die i-te Spalte deiner Abbildungsmatrix

Führe das doch einfach mal durch und zeig, wie weit du kommst oder wo es hakt. Das ist eigentlich recht stures Rechnen, was jetzt zu tun ist. Und wenn irgendein Begriff unklar ist: Nachschlagen.
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, aber ich komm mit dem ersten Schritt nicht zurecht.
D.h ich weiß nicht wie ich das Bild von (1,1) berechnen kann.

unglücklich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von uma12
D.h ich weiß nicht wie ich das Bild von (1,1) berechnen kann.

->
Zitat:
Original von uma12
(i)

Du kannst da nicht x=1 und y=1 einsetzen und gucken, was rauskommt???

Mit "Bild von (1,1) ist einfach nur f((1,1)) gemeint. Genau wie in der Schule. Hat man f(x)=x² als Funktion gegeben, ist das "Bild von 2" einfach f(2)=4. Ist hier genauso, nur dass du eben nicht mit Zahlen hantierst, sondern mit Vektoren. Aber das macht ja nix. Man kann nicht nur Zahlen auf andere Zahlen abbilden, sondern auch Vektoren auf andere Vektoren usw.
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bezüglich der Aufgabenstellung eine Frage und zwar steht ja da dass man jeweils die Matrix der Abbildung bezüglich der Basen {(1,1),(1,-1)}
des und {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} des bestimmen soll.

Was ich nicht ganz verstehe ist jetzt nur eine Matrix gesucht oder zu jeweil der Basen eine? verwirrt

Danke nochmal das ihr mir Hilft
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst doch zum einen eine Basis des Urbildraums und zum anderen eine Basis des Bildraums, um überhaupt eine solche Matrix aufstellen zu können.

Das "(i)" vor deiner Abbildung lässt vermuten, dass da noch weitere Abbildungen (sprich Teilaufgaben) auf deinem Aufgabenzettel folgen. Pro (linearer) Abbildung mit vorgegebenen Basen gibt es jedenfalls nur eine Abbildungsmatrix. Gemeint ist also, dass du für jede Abbildung, die linear ist, eben die Abbildungsmatrix bestimmen sollst.

Deine Frage lässt jedenfalls vermuten, dass du noch nicht so wirklich verstanden hast, was eine Abbildungsmatrix eigentlich ist. Ich würde nochmal einen Blick in dein Skript oder in anderweitige Literatur werfen.
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist mein Bild von (1,1) = (5, 2, 1 )
und Bild von (1, -1) = (-1, 2, 5) ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. smile Jetzt mußt du diese Bilder als Linearkombination bezüglich der Basis des Bildraums (hier also {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}) darstellen.
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann hab ich zu Schritt 2 volgendes raus:



Und



raus.
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich han jetzt folgende Matrix raus:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von uma12

Wie man leicht nachrechnet, ist dies falsch. smile
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh. Hab meinen Rehenfehler gefunden.

Da kommt statt 0*(1,1,0) -2*(1,1,0)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Dann lautet also die korrekte Matrix:

smile
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Eure Hilfe Freude

Hat mir sehr geholfen smile
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch ein Problem zu der selben Aufgabenstellung nur zu einer anderen Teilaufgabe.

(ii)


Ich hab dazu folgendes gerechnet:



Ich hab das so gerechnet. Stimmt das überhaupt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, rein formal schon. Allerdings willst du ja wahrscheinlich die Linearität beweisen? Mit dem Gedanken, daß Polynome höheren Grades nicht linear sind, solltest du also eher zeigen, daß dieses f nicht linear ist. Augenzwinkern
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey. Danke smile
uma12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal.

Ich hätte noch eine Frage Big Laugh
Ich soll bei dieser Abbildug zeige ob sie linear isr oder nicht. Nur weiß ich nicht wie ich da vorgehen soll.

[latex] f: \mathbb R ^(nxn) \Rightarrow \mathbb
R ^(nxn) , A \Rightarrow A^2 [/latex

Danke im voraus]
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort Einheitsmatrix
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