Existenz eines Grenzwertes

14.12.2015, 22:35	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz eines Grenzwertes Hallo ihr Lieben! Kurze Frage: Ich habe die Aufgabe den Grenzwert für $\begin{align} x \to \infty \end{align}$ zu bestimmten, falls er existiert. Bestimmt habe ich ihn ( $\begin{align} \lim \limits_{ x \to \infty} \frac{e^x+x^{-x}}{e^x-e^{-x}}=1 \end{align}$ ). Aber wie genau zeige ich die Existenz eines Grenzwertes?
14.12.2015, 22:54	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja - ganz pragmatisch: Der Grenzwert existiert, wenn es einen Grenzwert gibt! Da du ihn berechnet hast, haben wir hier also kein unbeschränktes Wachstum, und damit kann es da wohl keine andere Meinung geben.
14.12.2015, 22:59	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke Mathema Ich hatte schon befürchtet, dass es für die Existenz noch weitere Vorraussetzungen gibt, die ich nicht kenne
14.12.2015, 23:45	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist etwa, wie zu sagen: "Die Brötchen habe ich gekauft, aber ich bin mir nicht, ob ich auch den Bäcker gefunden habe." Soll heißen: Wenn du in der Lage warst, den Grenzwert zu berechnen, muss er in erster Linie mal existiert haben, sonst könntest du ihn nicht berechnen. Das trifft natürlich nur zu, wenn du dabei auch sauber vorgegangen bist.
14.12.2015, 23:58	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das klingt einleuchtend! Was wäre denn ein Charakteristikum für einen Grenzwert, der nicht existiert? Also woran würde ich den erkennen?
15.12.2015, 16:31	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es ja mehrere Beispiele. Eine Möglichkeit wäre ja z.B. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ , also Wachstum über alle Grenzen. Das konvergiert bestimmt nicht. Zudem könnte der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert verschieden sein. Wenn dann nach dem beidseitigen Grenzwert, wie z.B. bei $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} sgn(x) \end{eqnarray}$ , oder $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^3} \end{eqnarray}$ gefragt wird, dann existiert dieser bestimmt auch nicht. Für eine ausführlichere Antwort ist unser Analysis-Experte Guppi aber bestimmt der bessere Ansprechpartner.
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15.12.2015, 21:13	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ich glaube ich verstehe! Somit ist eine Divergenz eigentlich kein ,,Grenzwert"? Ja, für den Fall, dass die links- und rechtsseitigen Grenzwerte unterschiedliche sind, leuchtet ein, wieso der ,,mittlere" GW dann nicht existiert.

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