Normalparabel um den Scheitelpunkt drehen |
14.12.2015, 23:19 | Isabella S. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Normalparabel um den Scheitelpunkt drehen vielleicht könnt ihr mir Helfen denn ich kann nirgends etwas drüber finden, in allegmeiner Form ich habe nur das gefunden, math.stackexchange.com/questions/767631/focus-of-parabola-with-two-tangents auf Englisch (kann ich nicht lesen) was dem nahe kommt ich suche die allegemeine Formel einer Normparabel mit den Koordinatenursprung 0|0, die sich in einem Winkel alpha um ihren Koordinatenursprung dreht. beim Winkel alpha von 0° müsste y=x^2 herauskommen beim Winkel alpha von 90° müsste y=x^0,5 herauskommen beim Winkel alpha von 180° müsste y=-(x^2) herauskommen beim Winkel alpha von 270° müsste y=-(x^0,5) herauskommen kennt jemand die Formel? |
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15.12.2015, 10:22 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Normalparabel um den Scheitelpunkt drehen Zunächst ist so etwas nur als Parametergleichung darstellbar, da es sich ja hier (bis auf die Fälle 0° und 180°) nicht um Funktionen handelt. Für die Normalparabel (0°) ist dann f(t)=t und g(t)=t²: Eine Drehung mit Winkel um den Ursprung entspricht ja der Transformation und . Für z.B. ergibt sich Viele Grüße Steffen |
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15.12.2015, 14:00 | Isabella S. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
JA, vom ausehen her, es müsste 45° sein es ist aber leider nicht alles zu sehen von der Formel, dadurch lassen sich auch leider die y-Werte nicht bestimmen bei vorgegebenen x-Werten. ... entspricht ja der Transformation ?? |
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15.12.2015, 14:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, der Winkel ist 1, und das sind nicht 45°, sondern...
Ja, natürlich. Deswegen hab ich die ja hingeschrieben. |
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15.12.2015, 14:06 | Isabella S. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
- Nein, der Winkel ist 1, und das sind nicht 45°, sondern... dann sind es 1 rad = 180°/pi - Ja, natürlich. Deswegen hab ich die ja hingeschrieben. ist es den keine "komplette" Formel |
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15.12.2015, 14:09 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was verstehst Du unter einer kompletten Formel? Falls es etwas von der Art y=f(x) ist, hab ich ja schon geschrieben, dass solche Figuren nicht als Funktionsgraphen dargestellt werden können. Du siehst ja beim unteren Diagramm, dass den meisten x-Werten zwei y-Werte zugeordnet werden. Und damit kann das keine Funktion sein. |
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15.12.2015, 14:59 | Isabella S. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
in der Art: x^2-y=0 nur das halt noch die Drehung um alpha mit dazu kommt |
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15.12.2015, 15:06 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber das ist nun mal eben eine Funktionsgleichung, umgestellt lautet sie y=x². Jeder x-Wert hat genau einen y-Wert. Die Parametergleichungen lassen sich nicht auf diese Form bringen, denn sie stellen keine Funktionen dar. |
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15.12.2015, 18:35 | temporary | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
an Isabella S. und Steffen Bühler wie wäre es mit: x^2 cos^2(w)+sin(w) (y^2 sin(w)-x)-y cos(w) (2 x sin(w)+1) = 0 als abgleich: wolframalpha.com/input/?i={x^2-y+%3D%3D+0%2C- x+%2B+y^2+%3D%3D+0%2C+x^2+cos^2%2845%C2%B0%29%2Bsin%2845%C2%B0%29+%28y^2+si n%2845%C2%B0%29-x%29-y+cos%2845%C2%B0%29+%282+x+sin%2845%C2%B0%29%2B1%29+%3D+0} könnte das, dass sein, das gesucht wurde? |
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15.12.2015, 20:56 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es war mir jetzt zu mühsam, das zu entziffern, aber das wird wohl meiner Parametergleichung entsprechen. Wenn ich Isabella richtig verstehe, möchte sie die aber nach y umgestellt haben, und das geht eben nicht. |
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15.12.2015, 21:59 | temporary | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wolframalpha.com solve[x^2 cos^2(w)+sin(w) (y^2 sin(w)-x)-y cos(w) (2 x sin(w)+1) = 0,y] y = 1/2 csc^2(w) (sqrt(4 x sin^3(w)+4 x sin(w) cos^2(w)+cos^2(w))+2 x sin(w) cos(w)+cos(w)) geht auch nach x und w sie will nur y |
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15.12.2015, 22:43 | Isabella S. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
geht das auch für alle Winkel von 0° bis 360° ? |
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16.12.2015, 08:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wollen wir einmal Licht in den geheimnisvollen Ansatz von temporary bringen. Parabeln sind spezielle Quadriken und können daher stets mittels sogenannter quadratischer Formen beschrieben werden. Gehen wir dazu aus von einem Punkt und drehen wir ihn um den Ursprung mit dem Winkel . Der Bildpunkt sei . Das geht mit einer Drehmatrix: Oder besser anders herum: Diese Gleichung liefert die beiden Zeilen: Für die Urbildpunkte besteht die Gleichung . Jetzt setze einfach die beiden Terme für in den Variablen ein und du erhältst die Gleichung für die Punkte der gedrehten Parabel. Im nachhinein kannst du wieder in und in umbenennen. Auf diese Weise erhältst du eine implizite Darstellung für die gedrehte Parabel. Es ist nicht besonders schön, aber möglich, diese Gleichung etwa nach aufzulösen, wenn es denn unbedingt sein muß. Denn es handelt sich ja um eine quadratische Gleichung. Das geht also mit der bekannten Lösungsformel. Fasse zum Auflösen als Variable und als Parameter auf. Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung liefern die zwei Funktionsäste der Parabel. |
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16.12.2015, 09:22 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dankeschön für diese Erhellung! Dann gibt es also doch eine geschlossene Formel, sieh mal an. Auf
wäre ich nicht gekommen. Dann ist alles geklärt, oder, Isabella? Viele Grüße Steffen |
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16.12.2015, 10:44 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
womit eventuell zu klären bleibt, was diese Umformung für w = 0 liefert |
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16.12.2015, 11:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In den Fällen und (modulo ) ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear in . Die Auflösung steht dann sozusagen schon dann. Ansonsten gilt: Beispiel: Für erhält man . Die Randstelle ist die Stelle mit vertikaler Tangente. |
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16.12.2015, 12:37 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
meine "Bosheit" bezog sich auf diese Frage |
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16.12.2015, 18:36 | Isabella S. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
passt, habe mal alles (die winkel) in wolframalpha.com und Geogebra, musste aber winkel*pi/180 nehmen alles in rad nicht in Grad es ist mir dabei aufgefallen in Geogebra, wenn man bei einer gekipten Parabel eine Tangete ansetzen möchte oder ein längenstück brauch, brauch man das nicht an der gekipten Parabel tun man nimmt die Parabel mit x^2-y=0 und zieht einen Keisbogen (r = (x^2+y^2)^0,5) an dem entsprechendem Punkt zB. bei x=1, die Werte die herauskommen sind mit der gekipten Parabewl identisch |
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