Newton Verfahren bei einer Problemfunktion

15.12.2015, 07:12	Jonny D	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton Verfahren bei einer Problemfunktion Hallo allerseits, habe folgende Aufgabenstellung zu lösen, verwenden Sie das Newton Verfahren um eine Nullstelle der Funktion tan (x) = x zu ermitteln, wobei alle R ohne 0 verwendet werden dürfen. Mein Ansatz: tan (x) - x = 0 1 Ableitung: tan^2 (x) Da die Funktion ja relativ ungünstig verläuft, was man ja schon an einer Wertetabelle sieht, habe ich mir die Funktion graphisch auf Wolfram Alpha angesehen und den Wert 4,5 sowie 4,8 als Startwert eingesetzt in die Newton Formel $\begin{eqnarray} x_{t} = x_{0} - \frac{f(x_{0}) }{f`(x_{0}) } \end{eqnarray}$ eingesetzt, aber da kommt nur Blödsinn raus, am Anfang ein Wert mit 731 irgendwas und danach springt es immer gleich auf über 1000. Was mache ich falsch?
15.12.2015, 08:16	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton Verfahren bei einer Problemfunktion Bis jetzt sieht das aus analytischer Sicht alles gut aus. Da $\begin{eqnarray} \tan(4.5) \approx 4.5 \end{eqnarray}$ hast du $\begin{eqnarray} x_t = 4.5 - \frac{\tan(4.5) - 4.5} { \tan^2(4.5) } \approx 4.5 - \frac{ 0 } { 4.5^2} \end{eqnarray}$ . Da solte eigentlich etwas sinnvolles liefern. Aus numerischer Sicht sehe ich auch nicht was schiefgehen sollte -- außer, dass du ausversehen Grad und Rad vertauscht. Edit: Vermutlich solltest du aber statt $\begin{eqnarray} \frac 1 { \tan^2(x_0)} = \frac{\cos^2(x_0)}{\sin^2(x_0)} \end{eqnarray}$ schreiben. wirkt stabiler.
15.12.2015, 08:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reihenentwicklung des Tangens beginnt mit x und hat nur positive Glieder. Da gibt nur die Nullstelle x=0. Und für solche Flachpunkte ist Newton denkbar ungeeignet. Wer kommt hier auf einen Startwert von 4.5 ??? In Grad rechnen und dann ableiten ??? Wie geht das ?
15.12.2015, 08:35	Jonny D	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mit cos^2(x) / sin^2(x) funktioniert es jetzt, aber woran liegt das?
15.12.2015, 08:44	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
zu mehrfachen Nullstellen sei [WS] Eindimensionale Nullstellenprobleme 2 - Das Newton Verfahren empfohlen.
15.12.2015, 09:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Dopap Hier der Plot an der interessanteren Stelle. Da der Tangens periodisch ist, und für jedes "Periodenintervall" bijektiv ist, gibt es unendlich viele Lösungen der Gleichungen. Und ausgerechnet die 0 wurde ausgeschlossen, erstens weil es die triviale Lösung ist, zweitens, weil die Ableitung des Tangens dort verschwindet. Damit ist der Link ebenfalls unpassend. @Jonny Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray} \cos( \frac { 3 \pi } 2 ) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac { 3 \pi } 2 \approx 4.5 \end{eqnarray}$ . Das heißt, $\begin{eqnarray} \frac 1 { \frac 1 {\cos(4.5)} } \approx \frac 1 { \frac 1 0 } \approx ??? \end{eqnarray}$ , salopp gesprochen. Analytisch ist zwar $\begin{eqnarray} \frac 1 { \frac 1 {\cos(4.5)} } = \cos(4.5) \end{eqnarray}$ , aber wenn der Rechner rundet, so hat er Problem den Ausdruck auszuwerten und es kommt zu massiven Rechenfehlern. Daher formt man solche Ausdrücke vorher um. Du kannst ja mal gucken was dein Rechner für $\begin{eqnarray} \frac 1 { \frac 1 {(\cos(4.5)^2} } \end{eqnarray}$ ausspuckt. Es wird sicher nicht das gleiche sein wie für $\begin{eqnarray} \cos(4.5)^2 \end{eqnarray}$ sein.
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