Anzahl Elemente einer Basis

15.12.2015, 17:22	Lala2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Elemente einer Basis Hallo. Ich habe eine Frage bzgl der Anzahl benötigter Elemente einer Basis. Wenn ich zB einen R^4 Raum habe, wieso kann ich dort eine Basis mit zwei oder mal mit drei Elementen bilden? Habe Übungsaufgaben zu beidem schon gesehn. Danke für die Erklärung.
15.12.2015, 18:09	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl Elemente einer Basis Eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ hat immer vier Elemente. Wenn du eine Basis mit weniger Elementen hast, dann erzeugst du damit einen Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ , also z.B. eine Gerade oder eine Ebene Lg kgV
15.12.2015, 18:33	Lala2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil die Zahl der Elemente einer Basis die Zahl der Dimension angibt bzw umgekehrt. Aber woher weis ich nun bei einem Untervektorraum ob meine Anzahl an Elementen reicht oder nicht ? Z.B Zwei Elemente bei R^4 oder drei?
15.12.2015, 18:45	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, wenn deine Vektoren linear unabhängig sind, dann spannen zwei einen zweidimensionalen Untervektorraum auf, drei einen dreidimensionalen etc. Was "genug" Basiselemente sind, hängt allein vom Untervektorraum ab, den du betrachtest
16.12.2015, 07:04	Lala2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay die Diskussion wird langsam besser ^_^ wenn ich z.B eine Lösungsgleichung habe x1+x2+x3+x4 = 0 mit 4 variablen zur Auswahl, woran merke ich wieviel Dimensional mein Unterraum ist?
16.12.2015, 07:57	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine Gleichung gegeben. Damit kannst du eine Unbekannte eliminieren, es bleiben also noch 3 Variablen. Das gibt dann einen dreidimensionalen Unterraum. Anschaulich bedeutet das, dass, wenn du drei der Variablen kennst, die vierte berechenbar ist. Die Dimension beschreibt insofern die Anzahl der Freiheitsgrade die du in deinem Gleichungssystem hast (das hier halt nur aus einer Gleichung besteht) Allgemein gilt: wenn du n linear unabhängige Gleichungen mit m Unbekannten hast ( $\begin{eqnarray} m\leq n \end{eqnarray}$ setzen wir grade mal voraus, sonst gibt es i.A. keine Lösung), dann hat der Lösungsraum die Dimension n-m. In der Sprache der Freiheitsgrade heißt das, dass wir uns n-m Variablen vorgeben müssen, um dann mit den m Gleichungen die restlichen Komponenten bestimmen zu können Hier bedeutet das konkret Du hast eine (linear unabhängige) Gleichung mit vier Unbekannten, also hat der Raum die Dimension 4-1=3
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16.12.2015, 19:13	Lala2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut ^_^ , das macht absolut sinn und war auch genau die Erklärung die ich gebraucht habe! Hätte ich eigentlich fast selbst drauf kommen können danke!
16.12.2015, 19:14	Lala2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas ist mir noch eingefallen: Kann ich es auch anhand des Kerns bestimmen ? Danke
16.12.2015, 19:22	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern wovon? Den Kern kenne ich eigentlich im Zusammenhang mit (linearen) Funktionen oder Matrizen... Wenn du die Bestimmungsgleichung als Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^4\to\mathbb R: (x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto x_1+x_2+x_3+x_4 \end{eqnarray}$ auffasst, dann kannst du den Lösungsraum in der Tat als Kern von f auffassen. Das finde ich aber nicht umbedingt als naheliegend und halte ich auch für unnötig aufgebläht

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