Faltung Normalverteilung

15.12.2015, 19:10

mathFTW

Faltung Normalverteilung

Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass bei Faltung der Normalverteilung die Parameter: Erwartungswert und Varianz sich addieren.

Meine Ideen:
ich hab die dichtefunktionen in die formel aus dem Satz von der FAaltung eingesetzt. Komme bis auf ein paar unformungen aber nicht mehr weiter

15.12.2015, 19:21

HAL 9000

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Mit einer passenden quadratischen Ergänzung im Argument der Exponentialfunktion im Integranden des Faltungsintegrals kommt man zum Ziel.

Zitat:

Original von mathFTW
ich hab die dichtefunktionen in die formel aus dem Satz von der FAaltung eingesetzt.

Dann schreib das alles mal hier rein, wenn du Detail erfahren willst.

15.12.2015, 20:52

mathFTW

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RE: Faltung Normalverteilung

$\begin{eqnarray*} 1/2pi \int_{-\infty }^{\infty } \! e^{(-0.5((b-m)/v)²)}e^{(-0.5((b-a-m')/v')²)} \, db<br /> \end{eqnarray*}$

wobei v und v' die varianz und m,m' der Erwartungswert sind

15.12.2015, 20:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathFTW

$\begin{eqnarray*} e^{(-0.5((b-v)/m)²)}e^{(-0.5((b-a-v')/m')²)} \end{eqnarray*}$

wobei v und v' die varianz und m,m' der Erwartungswert sind

Der Formel nach eher umgekehrt, d.h. v,v' die Erwartungswerte und m,m' die Standardabweichungen. Erstaunt1

Außerdem: Was soll die Integrationsvariable hier sein? b? Angesichts der Faltungsformel stimmt dann aber immer noch was nicht mit den Vorzeichen. verwirrt

15.12.2015, 21:02

mathFTW

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hättest du mal noch etwas gewartet, ich war gerade dabei zu editen. Muss mich noch an den Formleditor gewöhnen.
So wie es jetzt ist sollte es passen !?

15.12.2015, 21:10

HAL 9000

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Der korrekten Faltungsformel nach hätte ich aber eher

$\begin{align*} \frac{1}{2\pi vv'} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(b-m)^2}{2v^2}}\cdot e^{-\frac{({\color{red}a-b}-m')^2}{2v'^2}} ~ \dd b \end{align*}$

erwartet.

15.12.2015, 21:31

mathFTW

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gerade nachgeschlagen, du hast wohl recht...

wie wäre denn dein Ansatz ?

15.12.2015, 21:35

HAL 9000

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Um die Ausdrücke im Zaum zu halten, würde ich zunächst $\begin{align*} x=b-m \end{align*}$ substituieren, und außerdem mit $\begin{align*} c:=a-m-m' \end{align*}$ statt $\begin{align*} a \end{align*}$ arbeiten: Dann ist das letzte Integral gleich

$\begin{align*} \frac{1}{2\pi vv'} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2v^2}-\frac{(c-x)^2}{2v'^2}} ~ \dd x = \frac{1}{2\pi vv'} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2v^2v'^2} \left( v'^2x^2 + v^2(c-x)^2 \right)} ~ \dd x \end{align*}$ .

Und jetzt bzgl. der Integrationsvariable $\begin{align*} x \end{align*}$ quadratisch ergänzen - wie bereits einmal (und jetzt zum letzten mal) erwähnt. Dann kann man nämlich den gesamten Integranden wieder als Normalverteilungsdichte interpretieren und daher am Ende "wegintegrieren".

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