Natürliche Zahl, acht Teiler und größter Primfaktor kleiner 7

16.12.2015, 09:38	LouT	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliche Zahl, acht Teiler und größter Primfaktor kleiner 7 Meine Frage: Hallo zusammen, ich wäre euch sehr dankbar wenn mir Jemand bei der folgenden Aufgabe helfen kann: a) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen, die genau acht Teiler haben und deren größer Primfaktor kleiner als 7 ist. b) Kann es eine natürliche Zahl geben, die genau 20 Teiler und vier verschiedene Primfaktoren hat? Über einen Ansatz würde ich mich auch sehr freuen. Vielen Dank schon mal... Meine Ideen: ...
16.12.2015, 10:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz zu a) ist doch naheliegend: Basierend auf der dir sicher bekannten Teileranzahlfunktion $\begin{align} d(n) = (e_1+1)\cdot \ldots (e_r+1) \end{align}$ für $\begin{align} n=p_1^{e_1}\cdot \ldots \cdot p_r^{e_r} \end{align}$ überlegt man sich, wie man die gewünschte Zahl 8 als ein derartiges Produkt $\begin{align} (e_1+1)\cdot \ldots (e_r+1) \end{align}$ mit positiven ganzen Zahlen $\begin{align} e_r \end{align}$ zerlegen kann, d.h. für welche $\begin{align} r \end{align}$ das überhaupt geht, und wobei o.B.d.A. $\begin{align} e_1\geq \ldots \geq e_r\geq 1 \end{align}$ ausreicht. Das sind nicht sonderlich viele Varianten. Anschließend kann man jedem solchen gefundenen $\begin{align} r \end{align}$ -Tupel ein oder mehrere $\begin{align} r \end{align}$ -Tupel $\begin{align} (p_1,\ldots,p_r) \end{align}$ aus der Primzahlmenge $\begin{align} \{2,3,5\} \end{align}$ ("kleiner als 7") zuordnen, die dann schließlich zu den gesuchten $\begin{align} n \end{align}$ führen. Frage b) lässt sich gemäß obiger Formel für $\begin{align} d(n) \end{align}$ dahingehend übersetzen: Kann man 20 als Produkt von vier ganzen Zahlen >1 schreiben?

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