Normalverteilte Zufallsvariablen konvergieren in L^2

16.12.2015, 14:05	Fenistil	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilte Zufallsvariablen konvergieren in L^2 Meine Frage: Hallo zusammen, ich möchte folgendes beweisen: Seien $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ Gaußsche Zufallsvariablen und es gelte $\begin{eqnarray} X_n\rightarrow X \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ . Dann ist X auch normalverteilt. Als Hinweis habe ich gegeben, dass man sich die charakteristischen Funktionen angucken soll, also ob man diejenige von X durch diejenige von $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ darstellen kann. Meine Ideen: Also, die charakteristische Funktion für $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ ist ja gegeben durch $\begin{eqnarray} \varphi_{X_n}(\lambda)=E[e^{i\lambda X_n}]=e^{i\lambda\mu_n-\frac{1}{2}\lambda^2\sigma_n^2} \end{eqnarray}$ . Hier hake ich etwas. Ich weiß ja nach der Voraussetzung nur, dass $\begin{eqnarray} E[(X_n-X)^2]\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Aber ich kann ja nun nicht einfach im Erwartungswert X gegen die charakterische Funktion tauschen. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weitermachen soll?
17.12.2015, 12:06	Fenistili	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir keiner helfen? :-( Bitte!

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