Unendliche Reihen auf Konvergenz überprüfen |
16.12.2015, 14:48 | Danyelz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Unendliche Reihen auf Konvergenz überprüfen Ich soll diese Reihen auf Konvergenz untersuchen 1.) und 2.) Konvergenz liegt ja vor wenn g < 1 ist bzw es ist divergent bei g > 1. Bei der 1. bin ich durch das Wurzelkriterium auf (1+1/n) gekommen, wobei 1+ eine immer kleinere Zahl ja = 1 ist. Daraus folgt, die 1. Reihe ist nicht konvergent? und bei 2. bin ich durch das Wurzelkriterium auf gekommen, wodurch ich den Grenzwert g ja bei 2/3 ablesen kann. 2/3 ist ja kleiner als 1, daher war mein erster Gedanke, die 2. Reihe konvergiert. Doch 2/3 ist ja ein klarer Grenzwert und demnach würde sie ja doch nicht konvergieren ? Weil konvergieren ja annähern bedeuten würde oder täusche ich mich da? Fazit: Beide Reihen sind nicht konvergent? |
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16.12.2015, 14:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Unendliche Reihen auf Konvergenz überprüfen
Das ist etwas schnoddrig formuliert und kann daher schnell zu Fehlinterpretationen führen.
Wie dies?
Was ist ein "klarer" Grenzwert und wieso sollte dieser die Konvergenz der Reihe verhindern? |
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16.12.2015, 15:03 | Danyelz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mit dem Wurzelkriterium hätte ich ja n-Te Wurzel aus (1/1+n)^n. Das ist ja dasselbe wie (1+1/n)^n/n, wodurch sich das ^n und die -nte Wurzel kürzen würden. Dadurch bleibt nurnoch 1/1+n? Und ja die Formulierung zum "klaren" Grenzwert war falsch ^^ Aber ich hab gelernt das beim Quotientenkriterium Term < 1 -> Reihe ist konvergent Term = 1 -> Keine Aussage möglich Term > 1 -> Divergent Beim Wurzelkriterium < 1 = Reihe ist konvergent Und ich hab 2/3 was < 1 ist. Jedoch hat mir Wolfram Alpha gesagt das die Reihen nicht konvergent sind Edit: Ich Depp hab gerade gesehen, dass Konvergenz bedeutet, das ein GRENZWERT EXISTIERT Demnach hab ich den Begriff die ganze Zeit lang falsch gedeutet. Demnach müsste die 2. Reihe ja konvergent sein. Aber das Problem bleibt, dass Wolfram Alfa auch sagt sie sei nicht konvergent |
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16.12.2015, 15:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das würde mich schon interessieren, wie du von auf kommst.
Das ist ungenau (um nicht zu sagen falsch) formuliert.
Hm. Hast du ggf. etwas falsch eingegeben? |
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16.12.2015, 15:35 | Danyelz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wenn ich da das Wurzelkriterium anwende bekomme ich doch Das ^n kürzt sich doch mit der n-ten Wurzel und dadurch fällt die Wurzel und das ^n weg? Also (1+1/n)^n/n, wäre ja (1+1/n) Edit: Und ja, die 2. falsch eingegeben. Die 2. konvergiert doch. |
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16.12.2015, 16:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hm. Im 1. Beitrag stand noch:
Und wenn du das Wurzelkriterium anwendest, solltest du das Summenzeichen weglassen.
Das stimmt.
Und wieder machst du (und das habe ich oben schon bemängelt, aber anscheinend interessiert dich das nicht) aus einem ein . |
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16.12.2015, 16:10 | Danyelz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du hast recht :/ Oh mann, das ist mir garnicht aufgefallen. Habe die allererste Reihe falsch hingeschrieben 1+1/n ist natürlich richtig.... Demnach war die Rechnung anscheinend richtig mit dem Wurzelkriterium, sodass 1+1/n rauskommt. Wenn ich dort für n unendlich einsetze -> kommt ja 1+1/unendlich raus. Das ist ja 1+0 Also ist das Ergebnis 1. Demnach ist es nicht konvergent? |
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16.12.2015, 17:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
OK. Die Nicht-Konvergenz sollte dir aber auch direkt ins Auge springen aufgrund der Tatsache, daß nicht gegen Null, sondern gegen e konvergiert. |
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16.12.2015, 17:16 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bezogen auf die erste Reihe will ich auch noch folgendes anmerken, weil das im Zusammenhang Quotienten- und Wurzelkriterium öfter mal untergeht. Quotientengrenzwert oder Wurzelgrenzwert mögen keine Aussage zur Reihenkonvergenz bzw. -divergenz zulassen, aber: Gilt oder für alle , so liegt sicher Divergenz vor - schlicht weil dann das notwendige Konvergenzkriterium "Reihenglieder müssen Nullfolge bilden" verfehlt wird. |
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