Periodische Funktion, Stetigkeit

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johnny94 Auf diesen Beitrag antworten »
Periodische Funktion, Stetigkeit
Meine Frage:
Hallo, ich habe hier noch ein Problem bei dem ich um Hilfe sehr dankbar wäre.

Für die periodische Funktion f: mit der Periode T = 2 gilt auf halboffenen Intervall I = [0,2).



Ich soll den Graph von f zeichnen und untersuchen ob er gerade oder ungerade bzw. stetig ist. Weiters soll der Typ der Unstetigkeitsstellen bestimmt werden und f soll auf Inf, Min, Sup und Max untersucht werden.
Die Aufgabe soll auch für den Intervall I = [-1,1) durchgeführt werden.

Meine Ideen:
Also die Funktion ist ungerade da der Graph symmetrisch zum Ursprung ist.
Ich weiß wie man Inf, Sup, Max, Min bestimmt verstehe aber nicht wie das mit der Periode und dem halboffenen Intervall gemeint ist. Auch der Begriff Stetigkeit bereitet mir noch Probleme. Ist diese Funktion an der Stelle x = 2 unstetig?

Wenn f periodisch mit der Periode p ist so gilt:
,

Weiß aber nicht wirklich was mir das bringt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische Funktion, Stetigkeit
Vielleicht machst du dir mal eine Skizze. Dann wirst du zum einen sehen, daß der Graph nicht symmetrisch zum Ursprung ist, und zum anderen, wo es Sprungstellen (= Unstetigkeitsstellen) gibt. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische Funktion, Stetigkeit
Zitat:
Original von johnny94
Also die Funktion ist ungerade da der Graph symmetrisch zum Ursprung ist.

Das ist falsch, und zwar in beiden Fällen, d.h. sowohl für I=[0,2) als auch für die zweite Variante I=[-1,1) - bei der zweiten Variante ist es vielleicht etwas schwerer zu sehen.

EDIT: ... und bin raus. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische Funktion, Stetigkeit
Zitat:
Original von HAL 9000
EDIT: ... und bin raus. Augenzwinkern

Kannst gerne weitermachen, da ich mich jetzt auch ausklinke. Augenzwinkern
johnny94 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische Funktion, Stetigkeit
Ok, das ist mir jetzt mal klar, also wenn der Intervall z.B (-1,1) wäre würde es stimmen. Das mit der Periode aber leider immer noch nicht so ganz.
Die erste Periode geht von [0,2) und die zweite Periode von [2,4) und in der zweiten Periode ist die Funktion dann also macht sie einen Sprung oder verstehe ich das komplett falsch? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Falsche Richtung: Für muss man der gegebenen Periodizität wegen rechnen

.

Genauso in der anderen Richtung: Für gilt

.

Mit Gaußklammerfunktion kann man das ganze einheitlich auf ganz schreiben:

 
 
johnny94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habe zu kompliziert gedacht, aber ganz habe ich es trotzdem nicht verstanden, wird mit dem Intervall [-1,1) die Periode nur verschoben, dass ich bei -1 mein Minimum habe und bei +1 mein Maximum.
Zum ersten Intervall: Die Funktion ist weder gerade noch ungerade?
Max gibt es nicht und Inf = Min = 0 und Sup = 1. Unstetigkeit liegt immer bei x = 2*k vor oder liege ich da falsch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So in etwa, in der zweiten Variante ist



Auch wenn es optisch so aussieht, als wäre diese Funktion ungerade - sie ist es nicht.
johnny94 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Sie hat das Min = Inf = -0,5 und kein Max, das Sup = 0,5. Die Unstetigkeitsstellen liegen bei x = 1*k.?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von johnny94
Die Unstetigkeitsstellen liegen bei x = 1*k.?

Und k durchläuft die ganzen Zahlen? Dann müsste ja auch für k=2 dann bei x=2 eine Unstetigkeitsstelle sein - was nicht der Fall ist.
johnny94 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste es lauten unstetig bei x = 2*k-1.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das wäre eine Möglichkeit der Darstellung.
johnny94 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine letzte Frage noch zur Stetigkeit der Funktion im Intervall I = [-1,1)

Ist diese Funktion stetig oder Irre ich mich? Ist für mich bei dieser schwer zu erkennen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von johnny94
Eine letzte Frage noch zur Stetigkeit der Funktion im Intervall I = [-1,1)

Um das klarzustellen: Meinst du auch hier die Stetigkeit der periodischen Fortsetzung (mit Periode 2) auf ganz ?

Denn so wie du es formuliert hast, geht es nur um die Stetigkeit in [-1,1), und die ist offensichtlich erfüllt.
johnny94 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, war zu ungenau. Ja ich meine auch hier die Stetigkeit mit periodischer Fortsetzung T = 2. Also ist die Stetigkeit an der Stelle x = 2*k-1 auch nicht erfüllt und es ist keine gerade Funktion?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich nicht gesagt. Augenzwinkern

Die Stetigkeit der periodischen Fortsetzung ist genau dann gewährleistet, wenn . Wie sieht's damit hier aus?
johnny94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist gewährleistet, also ist es eine stetige, gerade Funktion.

Vielen Dank, habe wieder einiges dazugelernt. Möchte deine Zeit nicht mehr länger stehlen und wünsche dir und euch allen die meinen Beitrag lesen noch einen schönen Abend. smile
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