Integral-Problem

25.08.2004, 13:07

rafi

Integral-Problem

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem, ich verstehe nicht wie mein Professor diesen Integral so lösen kann. Kann mir jemand helfen?

Es beginnt mit: dr/dt=(s/a - n)r

dann nimmt er den Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~dr/dt \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(s/a-n)r \end{eqnarray*}$

so weit so gut, bis hierhin ist es klar. Ach ja, übrigens, der Professor nahm an das log=ln sei für diese Lösung.

Aber dann: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~dr/r \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(s/a-n)dt \end{eqnarray*}$

und dann: log r = (s/a - n)t + ln C (C ist die Konstante die beim Integral hinzukommt)

schliesslich kommt er zum Resultat:

r = C $\begin{eqnarray*} e^{(s/a-n)t} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand erklären wie das geht??

Vielen Dank im voraus.

Gruss Rafi

25.08.2004, 13:53

Mathe-Student

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Hallo Rafi. Willkommen

Eigentlich gar nicht so schwer:

dr/dt=(s/a - n)r <=> 1/r dr = (s/a - n) dt

beide Seiten integrieren führt zu

ln r + c1 = (s/a - n)t + c2

potenzieren und k:=e^(c2-c1)

r = k * e^[(s/a - n)t]

und fertig Augenzwinkern

25.08.2004, 13:59

mathemaduenn

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RE: Integral-Problem
Hallo rafi,
Die Methode heißt Trennung der Variablen und dient zum lösen von Differentialgleichungen. Ich schreibs mal etwas anders.
$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dt}=\left(\frac{s}{a}-n\right)r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r}\frac{dr}{dt}=\left(\frac{s}{a}-n\right) \end{eqnarray*}$
Jetzt beide Seiten integrieren.
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{r}\frac{dr}{dt}\ dt =\int_{}^{}~(s/a-n)dt \end{eqnarray*}$
Jetzt kommt beim linken Integral die Substitutionsregel ins Spiel.
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{r}dr =\int_{}^{}~\left(\frac{s}{a}-n\right)dt \end{eqnarray*}$
Dann werden die Integrale gelöst.
$\begin{eqnarray*} \ln{r}=\left(\frac{s}{a}-n\right) t+A \end{eqnarray*}$
Dann auf beiden Seiten e hoch rechnen.
$\begin{eqnarray*} r = e^Ae^{\left(\frac{s}{a}-n\right)t} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} e^A=C \end{eqnarray*}$
Alles klar?
gruß
mathemaduenn

25.08.2004, 14:03

MisterSeaman

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Vielleicht erst mal ohne Integrale:

$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dt} = (s/a-n)r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{dr}{r} = (s/a-n) dt \end{eqnarray*}$

Jetzt alles integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int{\frac{dr}{r}}=\int{(s/a-n) dt}{} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln(r) = (s/a-n)t+D \end{eqnarray*}$
mit D = ln(C) folgt durch Anwenden der Exponentialfunktion auf beiden Seiten
$\begin{eqnarray*} r = C*e^{(s/a-n)t} \end{eqnarray*}$

// edit: Zwei andere waren schneller. Augenzwinkern

Kleinigkeit noch am Rande: Es ist "das Integral". smile

edit von Mathespezialschüler: Doppelpost zusammengefügt

25.08.2004, 16:08

Mathespezialschüler

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@MisterSeaman

Wenn du noch was dazu schreiben möchtest, du etwas vergessen hast oder einfach etwas neues reinschreiben möchtest, du dabei aber den letzten Post geschrieben hattest, dann benutze doch bitte die edit-Funktion! Danke Augenzwinkern

25.08.2004, 17:38

MisterSeaman

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MisterSeaman bitte, Singular! Augenzwinkern

Ansonsten aber klar, werd's mir merken.

25.08.2004, 17:43

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von MisterSeaman
MisterSeaman bitte, Singular! Augenzwinkern

sorry!

25.08.2004, 20:13

MisterSeaman

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Nana, mal nicht übertreiben, schon klar, dass das nicht todernst gemeint war?

Wahrscheinlich schon! Tanzen

26.08.2004, 13:21

rafi

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Tausend dank an alle die an diesem Problem getüftelt haben.
Es hat mir sehr viel gebracht, das war ein wichtiger Schritt in einer Rechnung den ich - trotz allen Versuchen - nie kapiert habe.

Ihr habt mir sehr viel geholfen. Danke!

Gruss Rafi

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