LGS mit Gaußverfahren

17.12.2015, 13:26

Autumn15

LGS mit Gaußverfahren

Meine Frage:
Hallo Matheboardler,

Ich brauche dringend eure Hilfe... und zwar geht es um das Gaußverfahren, mit dem wir lineare Gleichungssysteme berechnen sollen...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn ich habs einfach immer noch nicht raus, wie das Verfahren genau funktioniert, ich steh total auf dem schlauch und je mehr ich versuche es zu verstehen desto komplizierter scheint es zu werden!!

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe
LG Autumn15

Meine Ideen:
Das Ziel des Gauß-Verfahrens ist es ja, das Gleichungssystem in die sogenannte Stufenform zu bringen, dass ist soweit alles klar.... sprich wie hier im Beispiel

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-> in Stufenform

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} * & * & * & * \\ 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Doch das mit dem eliminieren und berechnen habe ich absolut nicht verstanden. Wäre echt toll wenn mir das jemand auf einfache Weise erklären könnte!!!

17.12.2015, 14:19

MeMeansMe

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RE: LGS mit Gaußverfahren
Hey,

keine Sorge, das ist ganz einfach smile

In deiner gegebenen Matrix siehst du, dass in der ersten Zeile und ersten Spalte eine 1 steht (Matrixeintrag $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ ). Darunter steht auch eine 1, in der dritten Zeile eine 3. Du kannst jetzt die erste Zeile nehmen und von der zweiten komponentenweise abziehen, um bei $\begin{eqnarray*} a_{21} \end{eqnarray*}$ eine 0 zu erzeugen. Dann ziehst du die erste Zeile dreimal von der letzten ab und eine Null bei $\begin{eqnarray*} a_{31} \end{eqnarray*}$ zu erzeugen.

Um in der dritten Zeile an der ersten Stelle eine 0 zu bekommen, ließe sich das so mit den Zeilen als Zeilenvektoren schreiben:

$\begin{eqnarray*} <br /> \underbrace{\begin{pmatrix}0 & -3 & -8 & -6\end{pmatrix}}_{\text{neue dritte Zeile}} = \underbrace{\begin{pmatrix}3 & 3 & 1 & 0\end{pmatrix}}_{\text{alte dritte Zeile}} - 3\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 2\end{pmatrix}}_{\text{erste Zeile}}<br /> \end{eqnarray*}$

Du darfst also Zeilen addieren, mit Skalaren multiplizieren und die beiden Dinge kombinieren.

Hilft dir das?

17.12.2015, 16:01

Autumn15

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Hey @MeMeansMe vielen vielen dank für die schnelle Antwort!

Das hört sich ja an und für sich echt leicht an ... habs auch gleich so ausprobiert, komme aber irgendwie doch immer noch auf falsche Lösungen. In der Schule wurde uns das so erklärt, dass man die 1. Gleichung unverändert lässt und dann irgendwie das (-1)-Fache der 1. Zeile zu der 2. addiert wird und das (-2)-fache der 1. Gleichung zur dritten Gleichung, das hat mich dann irgendwann so verwirrt alles .... zu mal es dann noch hieß, wir sollen nach der Variablen schauen, die am einfachsten zu ELIMINIEREN ist!?

.... das ist alles so kompliziert!!! Hammer

17.12.2015, 16:23

MeMeansMe

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Hey

Zitat:

(...) dass man die 1. Gleichung unverändert lässt und dann irgendwie das (-1)-Fache der 1. Zeile zu der 2. addiert wird

Genau, du ziehst die erste Zeile von der zweiten ab (eine andere Formulierung für "mit -1 multiplizieren und addieren").

Zitat:

das (-2)-fache der 1. Gleichung zur dritten Gleichung

Es müsste das (-3)-Fache sein. Das habe ich dir auch mit den Zeilenvektoren ausführlich hingeschrieben smile

Eliminieren heißt im Prinzip "auf null schicken" oder "eine Null erzeugen". D.h. wenn du das erste Element in der zweiten Zeile eliminieren möchtest, heißt das, dass du da eine 0 haben willst.

Schreib doch deine Zwischenschritte mal auf und poste sie hier. Dann können wir gezielter schauen, wo deine Fehler liegen. Oft sind es einfach Rechenfehler o.ä.

Zur Beruhigung: Am Anfang kann es kompliziert sein, aber irgendwann wird es so sein wie Ausklammern oder Ausmultiplizieren: du hast das Gefühl, du hast nie was Anderes gemacht smile

17.12.2015, 17:52

Autumn15

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Hi,

Zitat:

Es müsste das (-3)-Fache sein. Das habe ich dir auch mit den Zeilenvektoren ausführlich hingeschrieben

Das (-3)-Fache also, weil die 1. Zahl in der dritten Zeile die 3 ist, oder!?

Also hab das jetzt noch mal probiert...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} |* (-3) -> + zur zweiten Zeile \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & -3 & -5 & -6 \end{pmatrix} |* (-1) \end{eqnarray*}$

Den dritten Schritt hab ich noch nicht getan, weil mich immer noch das ungute Gefühl beschleicht irgendwas falsch gerechnet zu haben...

P.S. Vielen vielen Dank für die Hilfe & Geduld!!!

17.12.2015, 18:23

MeMeansMe

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Zitat:

Original von Autumn15

Zitat:

Es müsste das (-3)-Fache sein. Das habe ich dir auch mit den Zeilenvektoren ausführlich hingeschrieben

Das (-3)-Fache also, weil die 1. Zahl in der dritten Zeile die 3 ist, oder!?

Ganz genau. Du willst ja mit der 1 aus der ersten Zeile die 3 aus der dritten eliminieren. Das geht nur, wenn du die erste Zeile auch mit 3 multiplizierst.

Bei deiner ersten Matrix weiß ich nicht, was du dahinter geschrieben hast, aber ich vermute, du hast die erste einmal von der zweiten Zeile abgezogen und die erste von der dritten dreimal. Der Eintrag $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ muss allerdings -8 sein, da $\begin{eqnarray*} 1-3\cdot 3 = -8 \end{eqnarray*}$ . Ist vermutlich nur ein Rechenfehler.

Aber ansonsten stimmt es. Schreib am besten vor jeder Matrix hin, was du genau machst, weil wenn du es dahinter schreibst, ist es nicht verständlich (siehst du auch, wenn du dir deinen Betrag nochmal anschaust).

Zitat:

P.S. Vielen vielen Dank für die Hilfe & Geduld!!!

Gerne, wenn man grade was Neues lernt, kann es halt schon mal schwer fallen smile

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