p,q Ideale - zeige p*q ist hauptideal und gib einen Erzeuger an

17.12.2015, 14:15

DerKlügereGibtNach

p,q Ideale - zeige p*q ist hauptideal und gib einen Erzeuger an

Meine Frage:
Hallo, ich bin neu hier und weiß leider nicht weiter bei einer Aufgabe, die ich zur Klausurvorbereitung machen möchte bzw soll =)

Gegeben habe ich einen Ring $\begin{eqnarray*} R= \mathbb{Z} \left[\sqrt{-5} \right] \end{eqnarray*}$ und zwei Ideale $\begin{eqnarray*} p = (2, 1+ \sqrt{-5} ) \wedge q= (3,1+\sqrt{-5} ) \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist, dass p*q ein Hauptideal in R ist. Zusätzlich soll man dann noch einen Erzeuger angeben.

Meine Ideen:
Nun habe ich mich damit schon etwas beschäftigt, aber eigentlich weiß ich gar nicht Recht, was ich zeigen soll, beziehungsweise wo ich ansetzen muss.

Ich weiß, dass im Produkt der Ideale alle $\begin{eqnarray*} \left\{ a*b: a \in p \wedge b \in q\right\} \end{eqnarray*}$ liegen. Also liegen in meinem Produkt $\begin{eqnarray*} \left\{ \alpha a * \beta *b : \alpha,\beta \in R \wedge a \in p \wedge b \in q\right\} \end{eqnarray*}$
oder ist das schon Quatsch?

Naja am Ende möchte ich ja auf jeden Fall einen Erzeuger angeben und da R angegeben ist und meine Ideale beide in der hinteren Komponente ähnlich sind, lässt es ja vermuten, dass der Erzeuger sowas wie 1+ Wurzel(-5) ist. Also müsste ich zeigen, dass genau das in meinem von p und q erzeugten Produktideal liegt oder ?
Aber im Grunde entsteht genau hier mein Problem....

Über Hilfestellungen wäre ich dankbar, bitte keine ganzen Lösungen! Ich werde mich bemühen zu folgen und selber was beizutragen, wenn mir nur bitte jemand erstmal bei einem Ansatz hilft =)

17.12.2015, 14:33

DerKlügereGibtNach

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Ja ist Quatsch, denn zunächst weiß ich erstmal, dass pq aus den 4 Elementen besteht, die ich durch die Multiplikation eines Elementes aus p und eines aus q erhalte.
Also gilt: $\begin{eqnarray*} (pq)=(6 , 3+ 3\sqrt{-5} , 2+2\sqrt{-5} , -4+2\sqrt{-5} ) \end{eqnarray*}$
und jetzt möchte ich zeigen, dass das von einem Ideal erzeugt wird, quasi also, dass ich 3 davon irgendwie nicht brauche?

Wenn ich zeigen möchte, dass zwei Ideale gleich sind, dann möchte ich ja gerne zwei Mal die Teilmengeninklusion zeigen oder macht das hier gar keinen Sinn?

17.12.2015, 14:52

Elvis

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Berechne $\begin{eqnarray*} (1+i\sqrt 5)(1-i\sqrt 5) \end{eqnarray*}$ , dann sollte klar sein, wie das Hauptideal aussieht.

17.12.2015, 16:05

DerKlügereGibtNach

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Hallo und vielen Dank! Ich glaube ich habe die Aufgabe mittlerweile gelöst.

In unserem Skript haben wir einen Satz, der besagt, dass das Produktideal pq erzeugt wird von der Menge der 4 Elemente die ich oben aufgeführt hatte.
Dann habe ich gezeigt, dass 1+sqrt(-5) in diesem Ideal liegt und die 4 im Ideal von 1+sqrt(-5). Am Ende ging es ganz gut auf, also sollte es wohl passen.

Eine Frage habe ich aber dazu: wenn ich nicht sofort sehe, was das Hauptideal ist, habe ich dann überhaupt eine Chance darauf zu kommen?

Und eine andere allgemeine Frage zu Hauptidealen: Gibt es sowas wie einen Standardtrick um zu zeigen, dass etwas kein Hauptideal ist? Ist das immer am Besten über einen Widerspruchsbeweis mit der Annahme, dass es ein Hauptideal sei?

VIELEN DANK!!!

17.12.2015, 18:21

Elvis

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Zitat:

Original von DerKlügereGibtNach
Am Ende ging es ganz gut auf, also sollte es wohl passen.

Was heißt das ? Ein Hauptideal $\begin{eqnarray*} (a) \end{eqnarray*}$ wird von einem Element $\begin{eqnarray*} a\in R \end{eqnarray*}$ erzeugt. Gib das Element $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z[\sqrt {-5}] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} pq=(a) \end{eqnarray*}$ an.

17.12.2015, 18:33

Elvis

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Zitat:

Original von DerKlügereGibtNach

Eine Frage habe ich aber dazu: wenn ich nicht sofort sehe, was das Hauptideal ist, habe ich dann überhaupt eine Chance darauf zu kommen?

Und eine andere allgemeine Frage zu Hauptidealen: Gibt es sowas wie einen Standardtrick um zu zeigen, dass etwas kein Hauptideal ist? Ist das immer am Besten über einen Widerspruchsbeweis mit der Annahme, dass es ein Hauptideal sei?

VIELEN DANK!!!

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