Matrixdarstellung einer linearen Abbildung

17.12.2015, 14:37

MeMeansMe

Matrixdarstellung einer linearen Abbildung

Hallo alle zusammen,

es geht darum, dass ich die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} F : \text{Pol}_5 \to \text{Pol}_5 \end{eqnarray*}$ , die durch

$\begin{eqnarray*} F(p)(t) := p(0)+p'(1)t^2-2p''(2)t^5 \end{eqnarray*}$

dargestellt wird, auf Basis der Monome $\begin{eqnarray*} B = (x^5,x^4,x^3,x^2,x,1) \end{eqnarray*}$ beschreiben will. $\begin{eqnarray*} \text{Pol}_5 \end{eqnarray*}$ ist dabei der Vektorraum der Polynome mit Grad kleiner/gleich 5.

Da hab ich generell keine Probleme mit, ich wollte nur kurz Folgendes nachfragen: In der Definition der Abbildung steht ein Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , die Basis ist aber mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angegeben. Sind $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dasselbe oder ist das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in der Definition eine Konstante? Die Aufgabe gibt hierüber keine Auskunft.

Vielen Dank schonmal.

17.12.2015, 14:43

klarsoweit

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RE: Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
Zum Verständnis: die Abbildung F bildet ein Polynom p auf ein Polynom F(p) ab. Wie ist dieses Polynom F(p) nun definiert? Dazu gibt man an, wie man die Funktionswerte von F(p) findet.
Und dazu dient eben die Definition $\begin{eqnarray*} F(p)(t) := p(0)+p'(1)t^2-2p''(2)t^5 \end{eqnarray*}$ smile

Das t ist also die Funktionsvariable des Polynoms F(p).

17.12.2015, 16:27

MeMeansMe

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RE: Matrixdarstellung einer linearen Abbildung

Zitat:

die Abbildung F bildet ein Polynom p auf ein Polynom F(p) ab

Genau. Das Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kann ich schreiben als:

$\begin{eqnarray*} p(x) = a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5\qquad\text{mit}\quad a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Oder eben:

$\begin{eqnarray*} p(t) = a+bt+ct^2+dt^3+et^4+ft^5\qquad\text{mit}\quad a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

wie es in der Definition steht (das war meine Frage smile

). Ich war mir nur nicht sicher, hinterher im Polynom $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ vorkommen oder eben nur eins der beiden, abhängig davon, was ich als Funktionsvariable nehme.

Danke für die Hilfe smile

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