Nichtstetige Funktionen

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Thymian123 Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtstetige Funktionen
Meine Frage:
Hallo!,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabenstellung:
Zeigen Sie, dass es keine stetige Funktion f : R -> R mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem a Element von R gibt es genau zwei Zahlen x1,x2 mit f(x1) = f(x2) = a.


Meine Ideen:
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht sehe, warum eine Funktion mit dieser Eigenschaft nicht stetig sein kann. Wahrscheinlich liegt das daran, dass ich dieses f(x1)=f(x2)=a falsch interpretiere.
Das bedeutet doch, dass zwei Werte x1 und x2 aus dem Definitionsbereich den gleichen Funktionswert, nämlich a, haben. Das spricht aber nicht gegen eine stetige Funktion.

Falls mir jemand erklaren kann, wo mein Denkfehler ist, bin ich echt dankbar!




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10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht stetige funktionen
Zitat:
Original von Thymian123
Das bedeutet doch, dass zwei Werte x1 und x2 aus dem Definitionsbereich den gleichen Funktionswert, nämlich a, haben. Das spricht aber nicht gegen eine stetige Funktion.

Falls mir jemand erklaren kann, wo mein Denkfehler ist, bin ich echt dankbar!

Es sagt ja keiner, dass bei einer stetigen Funktion nicht zwei beliebige Argumente den gleichen Funktionswert haben können. Hier wird aber noch viel mehr verlangt: Jede reelle Zahl soll genau zwei Urbilder haben.

Tipp: Widerspruchsbeweis. Dazu brauchst du sicherlich den Zwischenwertsatz: Du nimmst ein , zu dem es nach Voraussetzung eindeutige mit gibt. Damit kannst (mithilfe des Zwischenwertsatzes) ein Element aus konstruieren, das mindestens 3 Urbilder haben muss; im Widerspruch zur Voraussetzung.
Thymian123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht stetige funktionen
Danke für den Beitrag, aber ich fürchte ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Der Ansatz einen Widerspruchsbeweis zu nehmen, ist mir klar. Ich nehme also an, dass f :R -> R stetig ist, und dass zu jedem beliebigen a Element von R x1,x1 existieren, für die gilt f(x1)=f(x2)=a.
Da ich angenommen habe, dass f stetig auf R ist, darf ich den Zwischenwertsatz benutzen. Mir ist aber nicht klar, wie ich den Satz einbringen kann, sodass ein Widerspruch entsteht.
Kann mir vielleicht jemand erklären, was es genau bedeutet, dass jedes a genau zwei Urbilder hat? Wie kann man sich so eine Funktion überhaupt vorstellen? Bei der Funktion f(x)=x^(2) hat doch jeder Funktionswert (bis auf 0) zwei Urbilder, z.B. ist ja f(2)=f(-2)=4.
Schonmal ein Dankeschön im Voraus smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht stetige funktionen
Zitat:
Original von Thymian123
Kann mir vielleicht jemand erklären, was es genau bedeutet, dass jedes a genau zwei Urbilder hat? Wie kann man sich so eine Funktion überhaupt vorstellen?

Eine solche stetige Funktion kannst du dir jedenfalls nicht vorstellen; das sagt ja gerade die Aufgabe. smile
Wenn man auf die Stetigkeit verzichtet, sollte es aber funktionieren. Anschaulich bedeutet das, dass der Graph der Funktion jede horizontale Gerade genau zweimal schneidet.

Zitat:
Original von Thymian123
Bei der Funktion f(x)=x^(2) hat doch jeder Funktionswert (bis auf 0) zwei Urbilder, z.B. ist ja f(2)=f(-2)=4.

Und was ist mit negativen Werten?


Jetzt zurück zur Aufgabe: und seien die einzigen beiden Werte ; wir können oBdA annehmen.
Auf dem kompakten Intervall nimmt die stetige Funktion ihr Maximum und Minimum an; eines davon muss ungleich sein (warum?). Angenommen, (und damit größer als ).
Überlege dir, warum es im Intervall mindestens zwei Zahlen gibt mit (hier brauchst du den Zwischenwertsatz).

Du kannst jetzt jenachdem, wo als Funktionswert angenommen wird (nach Voraussetzung sind es genau zwei Stellen), noch ein drittes Argument finden, das als Funktionswert ebenfalls hat (wieder mithilfe des Zwischenwertsatzes). Und das ist der gewünschte Widerspruch.
Thymian123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht stetige funktionen
Der Zwischenwertsatz sagt dann, dass jeder Wert zwischen f(x1)=a und f(x2)=a angenommen wird. Aus der Eigenschaft von f folgt, dass jeder Wert in diesem Intervall genau zweimal vorkommt, weil jeder Wert zwei Urbilder hat. Also hat das Maximum m genau zwei Urbilder. Und aus dem ZWS folgt, dass 1/2*(a+m) ein Funktionswert zwischen f(x1) und f(x2) ist. Kann man das so sagen? verwirrt
Und wie findet man noch eine Stelle im kompakten Intervall [x1,x2] die auch diesen Funktionswert hat? Liegt das daran, dass f zwei Maxima in [x1,x2] hat und wir angenommen haben, dass f stetig ist. Kann f in diesem Intervall nicht noch mehr als drei Stellen mit dem Wert 1/2*(a+m) haben?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht stetige funktionen
Zitat:
Original von Thymian123
Der Zwischenwertsatz sagt dann, dass jeder Wert zwischen f(x1)=a und f(x2)=a angenommen wird.

Ja gut, aber das bringt dir nicht viel. Welche Werte liegen denn zwischen und ?

Zitat:
Original von Thymian123
Aus der Eigenschaft von f folgt, dass jeder Wert in diesem Intervall genau zweimal vorkommt, weil jeder Wert zwei Urbilder hat.

Nein; du weißt nicht, ob beide Urbilder von im Intervall liegen; einer kann doch auch außerhalb dieses Intervalls sein.

Zitat:
Original von Thymian123
Und wie findet man noch eine Stelle im kompakten Intervall [x1,x2] die auch diesen Funktionswert hat?

Es sagt ja keiner, dass du nur im Intervall suchen sollst.

Ich dachte an folgendes: nimmt im Intervall den Funktionswert an; es gibt also ein mit . Nach dem Zwischenwertsatz wird dann der Funktionswert in den Intervallen und angenommen. Damit hast du schon zwei Argumente mit dem Funktionswert .

Du weißt aber auch, dass es irgendwo eine zweite Stelle geben muss, an der als Funktionswert angenommen wird; entweder außerhalb des Intervalls oder im Intervall . Beim ersten Fall kannst du mit dem Zwischenwertsatz eine dritte Stelle angeben, die als Funktionswert hat.

Überleg' dir das erstmal, den anderen Fall machen wir danach (das funktioniert nicht so einfach mit ).

Und vielleicht ist es auch hilfreich, wenn du dir für jeden Fall mal skizzierst, wie der Graph der Funktion in etwa aussehen könnte.
 
 
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