Es sei q ? K mit |q| < 1

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18.12.2015, 00:45

mathecool

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Es sei q ? K mit |q| < 1

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Über hilfe wäre ich sehr dankbar

18.12.2015, 06:33

Tobi_Semseg

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zu (a): Cauchy-Produkt-Formel $\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{\infty}a_{m} \cdot \sum_{m=0}^{\infty}b_{m} = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k} \end{eqnarray*}$ . Bei dir: $\begin{eqnarray*} a_{m} = b_{m} = q^{m}. \end{eqnarray*}$

zu (b): schreibe $\begin{eqnarray*} nq^{n} = q\cdot \frac{d}{dn}q^{n} \end{eqnarray*}$ und überlege dir, wieso du Summe und Ableitung vertauschen darfst.

18.12.2015, 08:47

IfindU

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@tobi

Wenn du a) explizit ausrechnest, siehst du warum diese vor der Aufgabe b) gestellt wurde.

18.12.2015, 11:19

Matt Eagle

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Zitat:

Original von Tobi_Semseg
zu (b): schreibe $\begin{eqnarray*} nq^{n} = q\cdot \frac{d}{dn}q^{n} \end{eqnarray*}$ und überlege dir, wieso du Summe und Ableitung vertauschen darfst.

Die Aufgabenstellung legt den Verdacht nahe, dass mathecool weder gleichmäßige Konvergenz noch Differentiation als Werkzeuge zur Verfügung stehen.
Insofern ist das hier ein ziemlich irreführender 'Tipp'. unglücklich

Wie IfindU schon angemerkt hat ist es hier (wie fast immer) so, dass in Aufgabenteil b) idealerweise das Resultat aus a) verbraten wird.

Alternativ(!) könnte man b), unter Rückgriff auf die geometrische Summenformel, auch ganz elementar lösen, indem man zunächst die Partialsumme:

$\begin{eqnarray*} S_n:=\sum_{k=1}^n kq^k \end{eqnarray*}$

berechnet.

Betrachte dazu:

$\begin{eqnarray*} S_n-q\cdot S_n=\left( \sum_{k=1}^n q^n \right) - nq^{n+1} \Rightarrow S_n= \frac q{(1-q)^2}(1-q^n)-\frac{nq^{n+1}}{1-q}. \end{eqnarray*}$

Und führe dann für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ eine Grenzwertuntersuchung durch.

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