Exponentialverteilung - gemeinsame Wahrscheinlichkeit

18.12.2015, 16:22	blut_orange	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung - gemeinsame Wahrscheinlichkeit Meine Frage: Hi, ich bräuchte einen Hinweis zu einer Aufgabe, bei der mir noch nicht ganz klar ist was zu tun ist. Sie lautet: Betrachte zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ . Sie sind voneinander unabhängig und exponentialverteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ . Berechne allgemein $\begin{eqnarray} P(X_1 < X_2) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich denke, dass die Lösung mit den Dichtefunktionen der Zufallsvariablen zu tun haben muss. Die gemeinsame Dichtefunktion sollte $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2) = f_1(x_1) f_2(x_2) \end{eqnarray}$ sein. Da beide Zufallsvariablen exponentialverteilt sind, wäre diese dann $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2) = \lambda_1 \lambda_2 e^{-\lambda_1 x_1 -\lambda_2 x_2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ . Nur wie mache ich von diesem Punkt aus weiter? Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} P(X < x) \end{eqnarray}$ berechnet werden kann aus der Summe aller $\begin{eqnarray} p_k \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray*}$ . Wie ist das jedoch, wenn eine zweite Zufallsvariable statt eines "fixen" Wertes gegeben ist? Ich wäre für jeden Hinweis dankbar.
18.12.2015, 19:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
bei 2 Würfeln mit X<Y hättest du eine Doppelsumme $\begin{eqnarray} p(X<Y)= \sum_{i=1}^6 \frac 16 \sum_{k=i}^6 \frac{6-k}{6} \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------ Bei 2 stetigen Zufallsgrößen X und Y wird der Wert der Grenze durch ein Integral ersetzt. Als erstes empfiehlt sich $\begin{eqnarray} X<Y \textrm { durch } Z= X-Y \leq0 \end{eqnarray}$ zu ersetzen. $\begin{eqnarray} P(Z \leq 0) = \iint\limits_{x-y\leq 0} \, f(x,y) \,\dd y \,\dd x \end{eqnarray}$ Mit der Transformation $\begin{eqnarray} (x,z) \rightarrow (x,x-z) \end{eqnarray}$ kann das Integral vereinfacht werden. $\begin{eqnarray} P(Z \leq 0)= \int_{-\infty}^0 \,\underbrace {\int_{-\infty}^{\infty} \, f(x,x-z)\,\dd x}_{\textrm{Dichte von Z}} \, \dd z \end{eqnarray}$

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