Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl durch drei natürliche Summanden darzustellen

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weyerstrass Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl durch drei natürliche Summanden darzustellen
Meine Frage:
Hallo,

bin bei einem langen Beweis nun einem Punkt angekommen, wo ich eine "Formel" bräuchte für die Anzahl der Möglichkeiten die Zahl als Summe von exakt drei natürlichen Zahlen darzustellen.

z.B. für 1 und 2 gibt es keine Möglichkeit weil die nat. Zahlen erst bei 1 anfangen.
Für 3 gibt es genau eine Möglichkeit: 3=1+1+1
für 4: 1+1+2 = 1+2+1 = 2+1+1 (drei Möglichkeiten)
für 5:
1+1+3 = 1+3+1 = 3+1+1
= 1+2+2 = 2+1+2 = 2+2+1




Meine Ideen:
Ich kenne Statistiken um sowas im Prinzip auszudrücken:

Bose-Einstein-Statistik ("k Teilchen auf 3 Zellen aufteilen") bringt hier nichts, da es nicht erlaubt ist, dass eine der "Zellen" (= einer der Summanden) die 0 ist.
Was auch nichts bringt ist http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=544880
weil da höchstens 1 Teilchen pro Zelle erlaubt ist.

Man braucht eine "Formel" für:
Wie viele Möglichkeiten gibt es k nicht unterscheidbare Teilchen auf n (hier n=3) Zellen zu verteilen?

Da die Teilchen ununterscheidbar sind, werden sie mit der Anzahl in der Zelle identifiziert, also hier dem entsprechenden Summanden (erster, zweiter, dritter).

Ich bräuchte hier tatsächlich nur die Gleichung, da ich das in einem anderen Beweis (Partitionierung von ) brauche.

(Physik BSc. 1 Semester)

Viele Grüße
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl durch drei natürliche Summanden darzustellen
suchst du das ?
weyerstrass Auf diesen Beitrag antworten »

Danke das sieht gut aus. Damit wird es hoffentlich funktionieren.
weyerstrass Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, kennt auch jemand eine Formel, bei der nun nur noch Quadratzahlen als Summanden zulässig sind?

3=1+1+1
4, 5 haben keine Zerlegung
6 = 4+1+1 = 1+4+1 = 1+1+4

Wäre hilfreich, sonst versuche ich einen anderen Ansatz...

Es geht übrigens um eine geschickte Partition für die Familie


damit man nämlich - das ist die Aufgabe - zeigen kann für welche die Familie summierbar ist...

also ob der Grenzwert existiert


Wenn man nun eine Partition finden würde, könnte diese Gleichheit einem helfen:



Viele Grüße
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von weyerstrass
Hey, kennt auch jemand eine Formel, bei der nun nur noch Quadratzahlen als Summanden zulässig sind?

3=1+1+1
4, 5 haben keine Zerlegung
6 = 4+1+1 = 1+4+1 = 1+1+4

Wäre hilfreich, sonst versuche ich einen anderen Ansatz...

Angesichts deiner eigentlichen (weiter unten genannten) Problemstellung suche besser einen anderen Weg - für diese Quadratzerlegung wirst du kaum eine brauchbare Anzahlformel kriegen.

EDIT: Denk mal über die Indextripelmenge nach, das sind gerade diejenigen Tripel , wo das Maximum der drei Werte genau ist.
weyerstrass Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade einen Tippfehler von mir, es ist aber was in liegt ist ja weiterhin das Tripel .

Danke auch für den Vorschlag, leider verstehe ich ihn noch nicht ganz.

Das soll ja eine -Partition sein. Zu der Definiton von Partition verwende ich übrigens die wie in Wikipedia > "Partition (Mengenlehre)".

Wo liegt bei der folgenden Überlegung der Fehler?


also wäre dann ??
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von weyerstrass
Das soll ja eine -Partition sein.

"Das" ist keine Partition, aber "die" schon: Es ist



eine disjunkte Vereinigung, und das meint ja wohl hier mit Partition.

Zitat:
Original von weyerstrass
Wo liegt bei der folgenden Überlegung der Fehler?


Das stimmt nicht. Muss ich es wirklich nochmal wiederholen? Anscheinend leider ja:

Zitat:
Original von HAL 9000
[...] das sind gerade diejenigen Tripel , wo das Maximum der drei Werte genau ist.

Das Maximum - nicht notwendig alle drei. unglücklich
weyerstrass Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, hatte einen Denkfehler. Deine Partition lässt sich glaube ich für ein festes k auch als drei Oberflächen eines Würfels mit Kantenlänge k betrachten, dort ist gerade einer der l,m,n gleich k, an den Kanten sind zwei Werte gleich k, am entfernten Eckpunkt sind alle gleich k.

Nun versuche ich die Summe über die Elemente einer festen Partition (beliebig aber festes k) abzuschätzen, damit ich die Summe dann von den konkreten l,m,n befreie und sie dann übergeht in eine Abschätzung die mit der Kardinalität von eingeht (wenn alle Elemente der Summe gleich sind ist es einfach ein Produkt).

Nun habe ich folgende Abschätzungen gefunden:



Begründung: Da wird maximal für l=m=n=k und minimal wenn ohne Beschränkung der Allgemeinheit z.B. l=k und dann die anderen Werte m=n=1.

Dann ist
über die geometrische Oberflächen-Betrachtung ergibt sich dasselbe (3 Flächen minus den doppelt gezählten Kanten plus den einen Eckpunkt der einmal zuviel abgezogen wurde, erinnert an die allgemeinen Gleichungen für Mächtigkeiten von Vereinigungen und Durchschnitten)


Dann ergibt sich q>2 mit der Gleichung

und dem Vergleich mit der geometrischen Reihe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Vergleichsreihe ist keine geometrische Reihe, sondern eine vom Typ , aber deren Konvergenzverhalten in Abhängigkeit von sollte ja ebenfalls bekannt sein.
weyerstrass Auf diesen Beitrag antworten »

Sei die Summe, die es zu untersuchen gilt.

Mit der Ungleichung

ergibt sich erstmal

also


Für die Summe gilt dann



Da sowie nicht von dem Tripel abhängen, ergibt sich die Summe durch Multiplikation mit der Mächtigkeit von , und zwar ist , und damit:



Die Konvergenz der ersten Reihe lässt sich derart überprüfen:




Nun ist der maßgebende Teil hieran Wie begründe ich das korrekt?

Mir ist eingefallen, dass dies die verallgemeinerte harmonische Reihe ist, und zwar würde die Reihe konvergieren genau dann wenn , also ist die Lösung (eigentlich wäre sie das für die Summe mit den verschiedenen Potenzen von k... ??).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von weyerstrass


Die Konvergenz der ersten Reihe lässt sich derart überprüfen:




Nun ist der maßgebende Teil hieran Wie begründe ich das korrekt?

Schreib es doch so:

.

Die Konvergenz gegen 3 impliziert, dass der Term für genügend große in einem Intervall verbleibt, völlig egal, wie der Term konkret aussieht - und mehr brauchst du ja nicht.

Was die Abschätzung nach der anderen Seite betrifft: Mach es dir doch nicht schwerer als nötig - schätze gleich gegen statt ab: Damit verschenkst du zwar etwas, aber das ist hier belanglos fürs Ergebnis - dafür werden die Terme einfacher, sprich: Wir landen bei derselben Struktur wie links, nur ohne den (bzgl. konstanten) Faktor .


Dies sowie (*) berücksichtigend haben wir letzten Endes für jedes feste die Existenz zweier positiver Konstanten mit

für alle

mit einem geeignet gewählten . Für nutzen wir die linke Abschätzung (Minorantenkriterium), für hingegen die rechte (Majorantenkriterium).
weyerstrass Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

das (*) ist mir jetzt klar, wenn ich es richtig verstehe, dass sich die Zahl im (3-e,3+e)-Intervall ja einfach vor die Summe schreiben lässt. Wenn ich recht informiert bin, reicht es aus, zu zeigen, dass die Zahl in einem bechränkten Intervall liegt.
Also: Für Folgen weiß ich, dass wenn konvergiert, konvergiert, wenn beschränkt ist. Inwiefern gilt soetwas auch für Reihen?

Übrigens sehe ich jetzt bei der von dir gewählten Partition einige Vorteile.

Zufälligerweise lautet nämlich eine andere Aufgabe
"Sei gegeben. Untersuchen Sie die Summierbarkeit der folgenden Familie "

Mit der Partition und ergibt sich auch hier

summierbar genau dann wenn q>3, richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig: und verhalten sich auf sehr ähnlich - bei letzterem braucht man nur nicht mal ein Sandwich, sondern kann die Summe auf genau berechnen.
weyerstrass Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke.
Ja genau, da kann man die Summe genau ausrechnen, weil nämlich jeder Summand, der irgendwie vom Tripel abhängt, über die -Partitionierung genau bestimmt werden kann.

Und zwar weil .

Also vielen Dank, hat gut geholfen.
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