Gleichungen lösen

18.12.2015, 16:48	keinplan:	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungen lösen Meine Frage: Diese Gleichung soll man bzw. ich lösen: $\begin{eqnarray} 34^{\frac{-1}{x} } +6^{\frac{-1}{x} } = 29^{\frac{-1}{x} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Momentan so gut wie keine Ansätze außer die Lösung, die ich mir erschlichen hab mit dem Taschenrechner. Anders Geschrieben sähe es ja so aus: $\begin{eqnarray} \frac{3}{4^{\frac{1}{x} } } + \frac{1}{6^{\frac{1}{x} } }=\frac{2}{9^{\frac{1}{x} } } \end{eqnarray}$ Aber ich komm nicht weiter.
18.12.2015, 18:06	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungen lösen Guten Abend, ich habe eine Lösung - vermutlich die einzige reelle Lösung - aber der Rechenweg ist ein ziemliches Gerödel über die Dörfer: 1. Multiplizieren mit allen Nennern, da die nicht null werden können. ergibt: $\begin{eqnarray} 3(6 \cdot 9)^{\frac1x}+(4 \cdot 9)^{\frac1x}-2(4 \cdot 6)^{\frac1x}=0 \end{eqnarray}$ 2. Dieser Schritt muss in drei Etappen erledigt werden: Ausklammern von $\begin{eqnarray} (3 \cdot 2 \cdot 4)^{\frac1x} \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} 3 \cdot \left(\frac32\right)^{\frac2x}+\left(\frac32\right)^{\frac1x}-2=0 \end{eqnarray}$ 3. Das ist eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} \left(\frac32\right)^{\frac1x} \end{eqnarray}$ , die mit einer der üblichen Formeln gelöst werden kann.
19.12.2015, 12:46	keinplan:	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, vielen Dank, so funktioniert es. Als Lösung dann X=-1.
19.12.2015, 13:02	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenig überraschend. Spätestens nach der Substitution $\begin{eqnarray} z=\frac{-1}{x} \end{eqnarray}$ sollte man der Gleichung $\begin{eqnarray} 3\cdot4^z+6^z=2\cdot9^z \end{eqnarray}$ direkt die Lösung ansehen.
19.12.2015, 13:57	gast1912	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte man die Lösung sofort erkennen können ?
19.12.2015, 14:34	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja - mit scharfen Blick kann man schon $\begin{eqnarray} 3\cdot4+6=2\cdot 9 \end{eqnarray}$ erkennen. Wer es nicht sieht, kann ja dann den Weg von Bürgi einschlagen. Also: $\begin{eqnarray} 3\cdot4^z+6^z=2\cdot9^z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3\cdot4^z+6^z-2\cdot9^z=0 \end{eqnarray}$ Division durch $\begin{eqnarray} 9^z \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3\cdot(\frac{2}{3})^{2z}+(\frac{2}{3})^z-2=0 \end{eqnarray}$
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19.12.2015, 14:51	gast1912	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Danke. Da stand ich wohl gerade auf dem Schlauch.

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