Unbestimmter Ausdruck nach l'Hospital

18.12.2015, 17:02	_Tobi96	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmter Ausdruck nach l'Hospital Hallo zusammen, ich soll den Grenzwert von dieser Funktion bestimmen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-1}{x} \end{eqnarray}$ Da der Zähler für x gegen 0 den Wert 1-1, also 0 annimmt, und der Nenner ebenfalls gegen Null geht, habe ich hier einen unbestimmten Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ angenommen. Nach l'Hospital kann ich dann ja den Grenzwert der Ableitung berechnen, um den Grenzwert der Funktion zu bestimmen. Die Ableitung lautet: $\begin{eqnarray} \frac{2e^{2x}}{x}-\frac{e^{2x}-1}{x^2} \end{eqnarray}$ . Nur leider hilft mir das auch nicht weiter Ich weiß nicht, wie ich hier den Grenzwert herausfinden soll (Ich weiß, dass 2 herauskommt, aber ich finde keinen Lösungsweg). Kann man das irgendwie umformen, oder muss ich nochmal nach l'Hospital ableiten? Weiß jemand, wo mein Denkfehler liegt? LG Tobi
18.12.2015, 17:03	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmter Ausdruck nach l'Hospital Schau dir die Definition von L'Hospital nochmal an, würde ich empfehlen die sagt nämlich, dass man Zähler und Nenner getrennt ableitet. Das vereinfacht die Sache doch erheblich, nicht? Lg kgV
18.12.2015, 17:25	_Tobi96	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das vereinfacht die Sache sogar mehr als erheblich - das kann man dann ja in wenigen Sekunden Sekunden im Kopf rechnen Vielen Dank, Tobi
18.12.2015, 17:32	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen
18.12.2015, 18:41	_Tobi96	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, und was passiert dann hiermit? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }xe^{-3x} \end{eqnarray}$ Ist ja quasi "Null mal unendlich", deshalb hab ich umgeformt zu: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }\frac{e^{-3x}}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Das ist "Null durch Null, und abgeleitet (getrennt! ) erhalte ich: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }\frac{-3e^{-3x}}{-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray}$ Leider hab ich jetzt immer noch Null durch Null, wie geht's hier weiter? (Am Ende soll wohl Null herauskommen). Weiteres Ableiten hilft nicht, sinnvolle Umformungen sehe ich auch keine...? LG Tobi
18.12.2015, 19:07	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} xe^{-3x}=\frac{x}{e^{3x}} \end{eqnarray}$ Damit sollte es nun nicht mehr schwierig sein, den Grenzwert zu bestimmen.
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11.01.2016, 22:09	_Tobi96	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoppla, diese Aufgabe hatte ich ganz vergessen... @Mathema: Okay, dann erhalte ich also im Zähler $\begin{eqnarray} -3e^{-3x}=\frac{-3}{e^{3x}} \end{eqnarray}$ , und das geht gegen Null. Aber mein Nenner lautet ja immer noch $\begin{eqnarray} \frac{-1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$ , geht also auch gegen Null - wo ist der Denkfehler?
11.01.2016, 22:37	_Tobi96	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Ah, jetzt versteh ich was du meinst $\begin{eqnarray} e^{-3x}=\frac{1}{e^{3x}} \end{eqnarray}$ , also muss ich L'Hospital anwenden für $\begin{eqnarray} \frac{1/e^{3x}}{1/x} =\frac{x}{e^{3x}}=\frac{1}{3e^{3x}} \end{eqnarray}$ , und das geht natürlich gegen Null für x gegen Unendlich, stimmt's?
12.01.2016, 15:53	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Notation stimmt nicht, aber am Gedankengang habe ich nichts auszusetzen.

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