Kreuzprodukt linear unabhängig,nichtgleich 0

18.12.2015, 17:09	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreuzprodukt linear unabhängig,nichtgleich 0 Zeige: Zwei Vektoren $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn ihr Kreuzprodukt $\begin{eqnarray} z:= x \times y \end{eqnarray}$ verschieden von Null ist. Hallo Die Richtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow) \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ linear abhängig, d.h. $\begin{eqnarray} \exists \lambda \in \mathbb{R}: \lambda x = y \end{eqnarray}$ Dann ist aber $\begin{eqnarray} x \times y = x \times \lambda x = \lambda (x \times x)=\lambda 0=0 \end{eqnarray}$ Die Richtung $\begin{eqnarray} \Leftarrow) \end{eqnarray}$ krieg ich noch nicht hin: Angenommen es ist $\begin{eqnarray} x \times y=0 \end{eqnarray}$ Dies ergibt das Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} x_2 y_3= x_3 y_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 y_1 = x_1 y_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 y_2 = x_2 y_1 \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} x=0 \vee y=0 \end{eqnarray}$ , so wären x,y nicht linear unabhängig $\begin{eqnarray} \Rightarrow x\not=0\wedge y\not=0 \Rightarrow \exists i,j \in \{1,2,3\}: x_i \not=0, y_j \not=0 \end{eqnarray}$ O.B.d.A $\begin{eqnarray} x_2 \not=0 \end{eqnarray}$ so ist aus der ersten Gleichung $\begin{eqnarray} y_3 = \frac{x_3 y_2}{x_2} \end{eqnarray}$ und aus der letzten Gleichung $\begin{eqnarray} y_1= \frac{x_1 y_2}{x_2} \end{eqnarray}$ Ich komme nicht ganz dahinter wie ich nun $\begin{eqnarray} y= \lambda x \end{eqnarray}$ bekomme für einen Widerspruch zu x,y linear unabhängig. Sry falsche Rubrik, gehört ja eher zu Algebra. LG, MaGi
18.12.2015, 20:17	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich steht es schon fast da: Es muss gelten $\begin{eqnarray} y_3=\frac{x_3 y_2}{x_2}=\frac{y_2}{x_2}\cdot x_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_1=\frac{x_1 y_2}{x_2}=\frac{y_2}{x_2}\cdot x_1 \end{eqnarray}$ . Und es ist auch $\begin{eqnarray} y_2=\frac{y_2}{x_2}\cdot x_2 \end{eqnarray}$ . Siehst du die Lösung jetzt? Ich hab's mal in die Algebra verschoben.
19.12.2015, 10:05	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ärgerlich, dass ich diese Einfache Darstellung nicht gesehen habe! Danke für die Hilfestellung. Schönes Wochenende!

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