Schwaches/Starkes GGZ

18.12.2015, 19:45

marcelinho

Schwaches/Starkes GGZ

Hey zusammen!
Ich komme bei der Aufgabe unten im Bild nicht so recht weiter..
Mein Ansatz ist bisher, dass ich das schwache Gesetz mit Tchebyshev zeige und das starke GGZ ist wohl mit Borel-Cantelli zu widerlegen.
Aber erstmal zum ersten Part, dem des schwachen GGZ:

Der Erwartungswert ist $\begin{eqnarray*} E[X_i] = 1/log n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_{n} := \sum\limits_{i=2}^{n} X_{i} \end{eqnarray*}$ .
Zudem: $\begin{eqnarray*} Var(X_i) = n/log n - 1/(logn)^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich betrachte:
$\begin{eqnarray*} 1/n (S_n - \sum\limits_{i=2}^{n} E[X_{i}]) \leq (Tchebyshev) \sum\limits_{i=2}^{n} Var(X_i) /(n^2 \epsilon^2) \end{eqnarray*}$

Und nun weiß ich an dieser Stelle nicht weiter..
Würde mich sehr über etwas Hilfe freuen!
Vielen Dank,
Marcel

18.12.2015, 20:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von marcelinho
$\begin{eqnarray*} 1/n (S_n - \sum\limits_{i=2}^{n} E[X_{i}]) \leq (Tchebyshev) \sum\limits_{i=2}^{n} Var(X_i) /(n^2 \epsilon^2) \end{eqnarray*}$

Was ist das denn für eine "Gleichung"? geschockt

Womöglich eine arg verstümmelte Variante von

$\begin{align*} P\left( \frac{1}{n} \left| S_n - \sum_{i=2}^n E[X_i] \right| \leq \varepsilon \right) \geq \frac{1}{n^2\varepsilon^2} \sum_{i=2}^n \operatorname{Var}(X_i) \end{align*}$ ? verwirrt

18.12.2015, 21:21

marcelinho

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Ohja, natürlich, entschuldige... Aber ich kenne die Gleichung so:
$\begin{align*} P\left( \frac{1}{n} \left| S_n - \sum_{i=2}^n E[X_i] \right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{1}{n^2\varepsilon^2} \sum_{i=2}^n \operatorname{Var}(X_i) \end{align*}$ (also die Abschätzungen im Prinzip getauscht)

18.12.2015, 21:59

HAL 9000

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Richtig - da hab ich mich "anstecken" lassen - links steht in der Klammer tatsächlich ein >. Augenzwinkern

So, und jetzt kannst du rechts die Varianzsumme geeignet nach oben abschätzen. Dabei hilft sicherlich, dass $\begin{align*} n\mapsto \frac{n}{\ln(n)}-\frac{1}{(\ln(n))^2} \end{align*}$ für $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ monoton wachsend ist - was natürlich zu begründen ist.

19.12.2015, 12:06

marcelinho

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Wenn ich gezeigt habe, dass es monoton wachsend ist, kann ich $\begin{align*} \sum_{i=2}^n \operatorname{Var}(X_i) \leq n( \frac{n}{\ln(n)}-\frac{1}{(\ln(n))^2}) \end{align*}$ abschätzen? Oder ist das zu "grob" und hilft mir nicht weiter? Aber dann hätte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2\varepsilon^2}\sum_{i=2}^n \operatorname{Var}(X_i) \leq \frac{1}{ln(n)} - \frac{1}{n(ln(n))^2} \end{eqnarray*}$ und dies würde für $\begin{eqnarray*} {n \to \infty} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren.

Allerdings stellt mich die Monotonie zu zeigen, schon vor gewisse Schwierigkeiten. Ich habe ein wenig mit dem Quotienkriterium herumprobiert und auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_{n} \end{eqnarray*}$ betrachtet, bin aber nicht so recht weitergekommen verwirrt

19.12.2015, 14:49

HAL 9000

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Auch wenn wir es nur an den "diskreten" Punkten x=n brauchen, wäre der Nachweis der Monotonie für die reelle Funktion $\begin{align*} f(x) = \frac{x}{\ln(x)} - \frac{1}{(\ln(x))^2} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\geq 2 \end{align*}$ ausreichend, und dazu kann man z.B. deren Ableitung unter die Lupe nehmen.

EDIT: Für alle $\begin{align*} x\geq 2 \end{align*}$ ist es vielleicht etwas schwierig, aber für $\begin{align*} x\geq 3 \end{align*}$ gelingt es mühelos. Und das eine fehlende $\begin{align*} f(2)<f(3) \end{align*}$ kann man ja "von Hand" erledigen.

21.12.2015, 14:34

marcelinho

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Das klappt!
Meine weiteren Überlegungen waren ok? Ich habe ja dann sozusagen gezeigt, dass ich die Varianz nach oben hin durch eine Nullfolge abschätze, richtig?

Zum zweiten Teil, dem des starken GGZ:

Borel-Cantelli sagt:

Falls $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty \end{eqnarray*}$ und falls $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ unabhängig, dann folgt $\begin{eqnarray*} P (\lim_{n \to \infty} sup A_n) = 1 \end{eqnarray*}$

Nun bin ich mir nicht ganz sicher, was ich zeige..
$\begin{eqnarray*} A_n = \frac{1}{n} \left| S_n - \sum_{i=2}^n E[X_i] \right| \end{eqnarray*}$

Und nun? Ich weiß vom Verständnis her nicht die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse her einzuschätzen.

28.12.2015, 15:35

marcelinho

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Ich bins nochmal Wink

Leider habe ich noch keinen weiteren Erfolg bei der Aufgabe gehabt und brauche immer noch Hilfe traurig

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