Eigenwerte einer Matrix

20.12.2015, 01:14	quitteee	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte einer Matrix Meine Frage: Hallo ^^, ich denke gerade über diese Aufgabe nach: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -b & 0 \\ 1 & -a & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich soll die Eigenwerte und Eigenräume berechnen. Meine Ideen: Ein Eigenwert ist 0, da das charakteristische Polynom lautet: $\begin{eqnarray} x^{3}+ x^{2}a+xb \end{eqnarray}$ Dann habe ich also durch x geteilt und die pq-Formel angewendet: $\begin{eqnarray} -\frac{a}{2}\pm \sqrt{\frac{a^{2} }{4}-b } \end{eqnarray}$ Also du Nullstellen sind dann die anderen zwei Eigenwerte, abhängig was halt nun in der Matrix steht. Stimmt das so bis hier? Meine Frage ist nun wie man jetzt die Eigenräume "schlau" berechnet und angibt? Ich meine wenn ich den Kern ausrechne ist der Ausdruck da oben ja nicht besonders schön. Wie würdet ihr das machen? Vielen Dank!
20.12.2015, 10:21	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte einer Matrix Hey, die Eigenwerte stimmen Jetzt brauchst du noch die Eigenräume. Was sind Eigenräume denn? Wie sind sie definiert?
20.12.2015, 12:07	quitteee	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja also für die Eigenräume muss ich die Eigenvektoren berechnen, also den $\begin{eqnarray} ker(A-xI_{n}) \end{eqnarray*}$ , einfach die entsprechenden Eigenwerte statt x einsetzen. Die Eigenräume umfassen alle Vielfach dieser Eigenvektoren, also ist das der Spann.
20.12.2015, 12:21	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Das heißt, es wäre jetzt eine gute Idee, die Eigenvektoren zu jedem Eigenwert zu berechnen
20.12.2015, 12:29	quitteee	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, ja. Aber soll ich hier das verwenden was ich in der pq-Formel rausbekommen hab? Also meine Frage am Anfang war ja ob dieser große Ausdruck sinnvoll ist, sprich einfach als x einsetzen und berechnen, oder obs da nen Trick gibt. Aber danke auf jeden Fall.
20.12.2015, 12:31	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, die Werte, die du mit der pq-Formel rausgefunden hast, sind deine Eigenwerte, sprich deine $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Es ist etwas unpraktisch, damit zu rechnen, aber da du Variablen in deiner Matrix hast, lässt sich das wohl nicht vermeiden.
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20.12.2015, 12:35	quitteee	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut. ^^ Ja dann vielen Dank. Hatte nur eben genau darauf gehofft, dass man das Ganze durch "scharfes Hinsehen" umgehen kann.
20.12.2015, 12:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine elegante Methode sehe ich nicht. Übersichtlich bleibt es, wenn du allgemein $\begin{eqnarray} A-\lambda E \end{eqnarray}$ für den Fall $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ betrachtest. Für $\begin{eqnarray} \lambda =0 \end{eqnarray}$ wirst du nicht um eine Fallunterscheidung herum kommen, weil der Rang von A vom Parameter b abhängt.

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