Hilbertraum - Cauchyfolge und Vollständigkeit

21.12.2015, 09:04	LoopDeLoop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilbertraum - Cauchyfolge und Vollständigkeit Meine Frage: Hey, habe die Frage schon woanders gestellt, aber leider keine Antwort erhalten. Vielleicht hat hier jemand eine Idee: Hey MMPler, ich habe folgende Aufgabe zu lösen: [attach]40163[/attach] Die a) habe ich mittels Cauchy-Schwartz Ungleichung zeigen können. Nun versuche ich die b). Jedoch weiß ich nicht genau wie ich dafür die a) benutzen kann. Jemand eine Idee? Noch eine kleine Frage zur b). Zwar steht, dass $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} >y \end{eqnarray}$ konvergiert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ . Es muss aber jedoch nicht das selbe $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sein wie für $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ oder? Also ich kann dieses $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ doch einfach durch das $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ersetzen, richtig? lg, loop_ Meine Ideen: Also erstmal zum ersten: Sei $\begin{eqnarray} w_n \to w \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_n \to x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n,m \to \infty \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \|\langle x_n,w_n\rangle - \langle x,w\rangle\| \leq \|\langle x_n,w_n - y\rangle\| + \|\langle x_n -x,w\rangle\| \leq \\|x_n\\| \\|w_n-w\\| + \\|x_n-x\\| \\|w\\| \to 0 \end{eqnarray}$ Wobei Cauchy-Schwartz und $\begin{eqnarray} x_n \to x \Rightarrow \\|x_n\\|<\infty \end{eqnarray}$ benutzt wurde. Damit ist das Skalarprodukt stetig und damit kann limes und Skalarprodukt vertauscht werden, womit die Behauptung sofort folgt. Bei der b) habe ich mir nun überlegt: Die Hinrichtung sollte trivial sein oder? Da angenommen $\begin{eqnarray} x_n \to x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \langle x_n,x_m \rangle \leq \\|x_n\\| \\|x_m\\| < \infty \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit?

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