Rätselhafte Differentialgleichung

21.12.2015, 18:24

mYthos

Rätselhafte Differentialgleichung

Im Rahmen von Übungsaufgaben für einen Studenten an einer Fachhochschule war folgendes AWP (Anfangswertproblem) bzw. Differentialgleichung zu lösen:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac {3y - x}{3x -y} \ \ \text{AWP:} \ y(0)=1 \end{eqnarray*}$

Eine explizite Darstellung war NICHT verlangt, es sollte eine implizite Lösung der Funktionsgleichung ausreichen.
Zum Vergleich (mit anderen CAS/Derive und auch mit WolframAlpha) waren jedoch auch noch die beiden explitizen Funktionen ermitteln (später).

Ich habe $\begin{eqnarray*} u = \frac y x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y = ux \end{eqnarray*}$ substituiert.
Damit ergab sich

$\begin{eqnarray*} u'x + u = \frac{3u-1}{3-u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3-u}{u^2-1} \dd u = \frac 1 x \dd x \end{eqnarray*}$

und diese Diffgleichung ist mittels Separation der Variablen lösbar, es wird:

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{u-1}{(u+1)^2} = cx \end{eqnarray*}$

EDIT: Schreibfehler korrigiert

und nach Rücksubstitution ist

$\begin{eqnarray*} y - x = c(x + y)^2 \end{eqnarray*}$

Mit dem AW (0; 1) ist c = 1 und daher ist eine spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} y - x = (x + y)^2 \end{eqnarray*}$

Explizit:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{\pm \sqrt{1-8x}+1-2x}{2} \end{eqnarray*}$

Nun ist es so, dass, wenn - zum Vergleich - die beiden allgemeinen expliziten Lösungen $\begin{eqnarray*} y = \frac{ \pm \sqrt{c(c-8x)}-2x+c}{2} \end{eqnarray*}$ ermittelt werden, diese von der Lösung in Wolfram Alpha verschieden sind.
Die Probe damit durch Einsetzen in die Diffgl. schlägt ausserdem fehl.

Die Lösungen - umgesetzt aus Wolfram -

$\begin{eqnarray*} y = \frac{\pm c\sqrt{(c^2 + 8x}-2x-c^2}{2} \end{eqnarray*}$

sind somit richtig und gehen auf die implizite Gleichung

$\begin{eqnarray*} \color{red}x - y\color{black} = c(x + y)^2 \end{eqnarray*}$

zurück. Allerdings ist das AWP y(0) = 1 dort nicht lösbar.

Ich kann mir aber nun beim besten Willen nicht erklären, weshalb es da zu einem Vorzeichenwechsel auf der linken Seite gekommen sein soll.

Interessant ist auch, dass die numerische Lösung mittels Euler-Iteration für beide Varianten möglich ist und dabei verschieden Graphen erzeugt.

[attach]40169[/attach] [attach]40171[/attach]

Wo ist der Fehler?

mY+

21.12.2015, 19:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \frac{u-1}{u^2-1} = cx \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, das ist ein Schreibfehler, und soll $\begin{align*} \frac{u-1}{(u+1)^2} = cx \end{align*}$ heißen, der weitere Fortgang macht nur so auch Sinn.

------------

$\begin{align*} y = \frac{ \pm \sqrt{c(c-8x)}-2x+c}{2} \end{align*}$ und $\begin{align*} y = \frac{\pm d\sqrt{d^2 + 8x}-2x-d^2}{2} \end{align*}$ entsprechen einander für $\begin{align*} c=-d^2 \end{align*}$ . Entsprechend enthält das, was du "Wolfram Alpha"-Lösung nennst, mit reellem $\begin{align*} d \end{align*}$ nur die Hälfte der Lösungsvielfalt mit $\begin{align*} c\leq 0 \end{align*}$ - u.a. fehlt damit die Lösung deines AWP. Mit komplexen $\begin{align*} d=i \end{align*}$ indes wäre man wieder im Geschäft. Augenzwinkern

Zitat:

Original von mYthos
Explizit:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{\pm \sqrt{1-8x}+1-2x}{2} \end{eqnarray*}$

Bezogen auf dein AWP y(0)=1 fällt natürlich die Minus-Variante weg. Augenzwinkern

22.12.2015, 02:11

mYthos

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Ja, der Schreibfehler ist beim Kopieren und Einfügen entstanden, danke, ich habe dies schon korrigiert.
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Also liegt die Ursache der scheinbar verschiedenen Lösungen darin, dass ich nur mit reellen Konstanten gerechnet habe, was einer Einschränkung der Lösungsmenge entspricht.
Das erscheint verständlich, denn bei

$\begin{eqnarray*} y-x=c(x+y)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c = -d^2 \end{eqnarray*}$ entsteht dann umgehend

$\begin{eqnarray*} y-x=-d^2(x+y)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-y = d^2(x+y)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es klar, danke! Das Ding hatte mich schon einige Stunden beschäftigt ...
(Positiver Nebeneffekt, auch wieder einmal mit dem Euler-Verfahren gerechnet!)

mY+

22.12.2015, 13:24

Dopap

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@mythos:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Euler-Verfahrens die Näherung für die Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y' = -\frac{2xy^2}{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0) = 2 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I = \left[ 0;3\right] \end{eqnarray*}$ mit der Schrittweite $\begin{eqnarray*} h = 0,1 \end{eqnarray*}$

irgendwie streikt mein TR. traurig

Könntest du die DGL mal bei dir einsetzten.

Die Schrittweite sei dir Überlassen.

22.12.2015, 23:40

mYthos

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Ich habe zuerst einmal die exakte Lösung der Gleichung bestimmt, um vergleichen zu können:

$\begin{eqnarray*} y = \frac 1 {c_1+\ln(x² + 1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac 1 {0,5+\ln(x² + 1)} \quad \text{AW:} \ y(0)=2 \ [c_1 = \frac 1 2] \end{eqnarray*}$

Beim Einsetzen gibt es eine gute Näherung.

n=0 xn=0 yn=2
n=1 x1=0.1 yn=2+0.1*0=2
n=2 x2=0.2 yn=2+0.1*(-2*0.1*4/1.01)=2-0.08/1.01=1.961
n=3 x3=0.3 yn=1.961-.... =1.855
....

In Excel muss man natürlich weniger manuell rechnen.
In einer Spalte ist auch jeweils der relative Fehler aufgelistet, dessen Bestimmung (bei einem bestimmten x-Wert) war auch Teil einer anderen Aufgabe des Studenten.

[attach]40178[/attach]

Da es im Intervall einen Krümmungswechsel (Wendepunkt) gibt, bleiben die Fehler in dessen Nähe im kleinen Bereich.
Wenn du das XLS haben möchtest, kann ich es hier anhängen ...

Gr
mY+

23.12.2015, 14:10

Dopap

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sehr sauber Freude

Jetzt kann ich mich nochmals mit Heun/Runge-Kutta beschäftigen, eine solide Basis ist jedenfalls vorhanden.

ein Dankeschön und Weihnachtsgrüße gehen nach Österreich smile

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