Randpunkt im Definitionsbereich bedeutet Randpunkt im Wertebereich?

21.12.2015, 19:18	cos95	Auf diesen Beitrag antworten »
Randpunkt im Definitionsbereich bedeutet Randpunkt im Wertebereich? Meine Frage: In einem Beweis aus einem Lehrbuch der Analysis wird behauptet, wenn ein Punkt x Randpunkt eines Definitionsbereiches einer stetigen Funktion sei, dann ist auch der Funktionswert an der Stelle x ein Randpunkt im Wertebereich. Weiter im Beweis heißt es sogar Äquivalenz. Allerdings kann ich diese Aussage nicht nachvollziehen. Schon eine einfache Skizze scheint dem zu widersprechen... Meine Ideen: Im Anhang ist eine recht simple Skizze, die diese Aussage zu widerlegen scheint. Sei das nämlich eine stetige Funktion auf einem Intervall [a;b] so sind a, b dort Randpunkte aber f(a) und f(b) sind keine Randpunkte im Bildbereich. Sehe ich hier irgendwas falsch? Danke für eure Hilfe.
21.12.2015, 19:28	cos95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Randpunkt im Definitionsbereich bedeutet Randpunkt im Wertebereich? Ausgerechnet nachdem ich die Frage ins Forum gestellt habe, weil ich einfach keinen Ausweg mehr sah, fällt mir plötzlich mein Fehler auf. Ich antworte mir mal selber, so dass andere mit einem ähnlichen Problem darauf hingewiesen werden. Die Aussage stimmt, wenn die Funktion (streng) monton wachsend bzw. fallend ist. Dann ist auch diese Skizze nicht mehr relevant, da diese Funktion ja eben nicht monoton ist. Leider vergisst man mal eben bei dem ganzen Nachdenken so eine Kleinigkeit und schon steht man vor einem unlösbaren Rätsel und wundert sich, ob da im Buch Quatsch steht. Vor allem, wenn in einem Buch so mancher Zwischenschritt einfach wegelassen wird.
21.12.2015, 20:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Randpunkt im Definitionsbereich bedeutet Randpunkt im Wertebereich? Was ist dann an folgendem Beispiel falsch? $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)=x-1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 2<x\leq 3 \end{eqnarray}$ Hier ist doch $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ Randpunkt und $\begin{eqnarray} 1=f(1)\in (0,2) \end{eqnarray}$
21.12.2015, 21:12	cos95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Randpunkt im Definitionsbereich bedeutet Randpunkt im Wertebereich? Naja ich schätze mal der Definitionsbereich ist hier [0;1] U (2;3]. Das ist kein Intervall mehr. Es wird stillschweigend vorausgesetzt, dass der Definitonsbereich ein Intervall ist und nicht "zerstückelt" ist. Das könnte man noch dazusagen
21.12.2015, 21:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Randpunkt im Definitionsbereich bedeutet Randpunkt im Wertebereich? Das muss man dazu sagen,sonst ist es schlicht und ergreifend auch für streng monotone Funktionen falsch Edit: Welches Lehrbuch ist das eigentlich?

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