Ableitung h-Methode

23.12.2015, 10:51

lule

Ableitung h-Methode

Meine Frage:
Hallo liebes Mathe-Board,
ich habe eine kleine Aufgabe die ich eigentlich nur zum Spaß lösen wollte, aber ich komme einfach nicht auf die Lösung.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2*cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
Die Funktion würde ich gerne über die H-Methode ableiten und es soll ja
$\begin{eqnarray*} f'(x) = sin(\frac{1}{x})+2x*cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
dabei herraus kommen wenn ich mich nicht täusche.

Meine Ideen:
So nun zu meinem Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2*cos(\frac{1}{x+h})-x^2*cos()\frac{1}{x}}{h} \end{eqnarray*}$
Ich habe das erstmal ausmultipliziert und dann so zerlegt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{x^2*[cos(\frac{1}{x+h})-cos(\frac{1}{x})]}{h} + \frac{h*cos(\frac{1}{x+h})*(2x+h)}{h} \end{eqnarray*}$

Der rechte Teil ergibt mir dann schon
$\begin{eqnarray*} 2x*cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
wenn ich h gegen null gehen lassen würde.

Nun zur eigentlichen Frage:

Wie komme ich bei
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2*[cos(\frac{1}{x+h})-cos(\frac{1}{x})]}{h} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
wenn ich h gegen null gehen lasse ?

Höchstwahrscheinlich durch ein Additionstheorem, aber ich weiß nicht wie ich das hier umformen kann, damit auch h aus dem Nenner verschwindet.

Ein bisschen Hilfe wäre super smile

23.12.2015, 11:29

Matt Eagle

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Anhand der Reihendarstellungen von Kosinus und Sinus kannst Du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{x^2 \left(\cos\left(\frac 1{x+h}\right)-\cos\left(\frac 1x\right)\right)}h=\sin\left(\frac 1x\right). \end{eqnarray*}$

23.12.2015, 11:49

lule

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Danke für die Antwort smile

Aber mal eine blöde Frage:
Geht es auch ohne die Reihendarstellung ?

Denn die Aufgabe kommt von einer Freundin, die gerade ihr Studium angefangen hat und noch nichts mit Reihen zu tun hatte.

23.12.2015, 11:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Das paßt jetzt aber nicht so ganz zu

Zitat:

Original von lule
ich habe eine kleine Aufgabe die ich eigentlich nur zum Spaß lösen wollte

Vielleicht postest du jetzt doch einmal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut. smile

23.12.2015, 12:49

lule

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Ja ich hab nur ein Foto der Funktion und wollte die "nur" mal eben durchrechnen, aber das hat ja nicht so ganz funktioniert...
Ja ich werde mal zu sehen, dass ich die gesamte Aufgabe bekomme und dann poste ich sie smile

23.12.2015, 15:21

lule

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2cos\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \mapsto 0, x = 0 \end{eqnarray*}$

differenzierbar ist, aber nicht stetig differenzeirbar, d.h. die Ableitung ist keine stetige Funktion.
(In der Vorlesung wird gezeigt, dass sin und cos differenzierbare Funktionen auf IR sind mit sin' = cos und cos'=-sin)

Und ihr wurde gesagt, sie solle das mit der H-Methode machen.
Mfg l.

23.12.2015, 16:12

Matt Eagle

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Na, das hat mit der ursprünglichen Fragestellung jetzt aber nicht mehr viel zu tun... unglücklich

Aaalso:

Also Produkt bzw. Komposition diffbarer Funktionen ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ diffbar.
Bleibt also die Diffbarkeit in 0 zu untersuchen und das geht mit der sog. h-Methode ganz wunderbar.

Bleibt zu zeigen, dass die Ableitung in 0 nicht stetig ist.

Dazu kann man dann für eine Nullfolge wie z.B $\begin{eqnarray*} x_n:=\frac 1{\pi\left(2n+\frac 12\right)} \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} f'(x_n) \end{eqnarray*}$ betrachten und mit $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ vergleichen.

23.12.2015, 16:54

lule

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Ja das stimmt unglücklich

sry dafür!

Ja klar dann kann man die Aufgabe so ganz gut lösen, aber eine Frage bleibt bei mir noch.
Wieso machst du das jetzt mit einer Nullfolge ?

23.12.2015, 23:39

lolyolorofl

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Hi,

es muss deshalb eine Nullfolge sein, da im Falle der Stetigkeit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f'(x_n)=f'(\lim_{n\to\infty} x_n) \end{eqnarray*}$ gelten muss. Da der Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ untersucht wird muss eine Folge mit dem Grenzwert Null verwendet werden!

26.12.2015, 13:48

lule

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung H-Methode
Hallo,
späte Antwort, mir ist Weihnachten dazwischen gekommen Big Laugh

Okay ja vielleicht hätte ich einfach mal länger drüber nachdenkne müssen, aber das macht natürlich Sinn.

Danke für die Antwort und Frohe Weihanchten ! smile

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung h-Methode

Verwandte Themen