In Riccati DGL transformieren

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Mathema Auf diesen Beitrag antworten »
In Riccati DGL transformieren
Hallo,

ich habe mal wieder Fragen zu einer DGL:



Als Hinweis ist gegeben, die DGL zweiter Ordnung in eine Riccati DGL zu transformieren. Nun habe ich mir erstmal bei Wiki die Form so einer DGL angeguckt:



Ich muss also die Ordnung reduzieren. Leider fehlt mir eine Idee, wie ich die gegebene DGL in diese Form bringen kann. Ich hatte folgendes versucht:









Dann komme ich auf:





Und da stört mich nun ja das y... Hat jemand eine Idee?

Ich habe also einen anderen Ansatz gesucht und bin auf folgenden Thread gestoßen:

Lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung

Nun habe ich den Ansatz von HAL verfolgt:



Und somit:







Das führt also also auf:













Resubsituieren:









Wäre die Lösung richtig? Kann man diesen Ansatz immer verwenden bei solchen Gleichungen? Vielleicht mag ja derjenige, der diesen Ansatz postuliert hat - und dem ich an dieser Stelle schöne Feiertage wünsche -, sich dazu äußern.
lolyolorofl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: In Riccati DGL transformieren
Hallo Mathema,

erst einmal: der Ansatz von Hal ist natürlich immer möglich, da die Substitution für alle umkehrbar ist. Allerdings musst du danach aufpassen, falls du durch teilst oder ähnliches, da du in diesem Fall Lösungen verlieren kannst.
Auf den Ansatz könnte man heuristisch wie folgt kommen: Für große Werte von wird der zweite Summand vernachlässigt. Dann sucht man eine Funktion, die für große Argumente erfüllt. Das wäre dann . Also kann man vermuten, dass der Ansatz zielführend ist (HAL hat wohl das "+" gewählt).

Falls du aber den Hinweis benutzen willst, könnte man durch die Substitution auf eine Riccatische DGL kommen. Allerdings bekommt man dann größere Probleme, da man zeigen müsste, dass y abhängig vom Anfangswert durch ein geeignetes m nach oben bzw unten beschränkt ist. Also ist der Ansatz von HAL wohl am sinnvollsten.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo lolyolorofl,

zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort und gute Erklärung. Das hilft mir sehr weiter.

Ich werde nach den Feiertagen gerne deine Substitution probieren und gucken, wie weit ich damit komme. Ein Anfangswert ist mit gegeben. Ich werde dann sicherlich berichten, wie weit ich gekommen bin und ggf. Hilfe ersuchen, falls ich irgendwo nicht weiter weiß.

Ich wünsche Dir an dieser Stelle erstmal frohe Weihnachten!

Wink
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