Aus absoluter Konvergenz einer Reihe, Konvergenz einer anderen Reihe folgern

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23.12.2015, 14:02	Hausen	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus absoluter Konvergenz einer Reihe, Konvergenz einer anderen Reihe folgern Meine Frage: Hallo liebe Community, ich bin mir unsicher ob folgender Beweis zur Aufgabe stimmt. Aufgabe: Zeigen Sie, dass aus der absoluten Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } a_k \end{eqnarray}$ die konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \sqrt{\| a_ka_k+_1 \| } \end{eqnarray}$ folgt. Meine Ideen: Mein Beweis sieht wie folgt aus: Da die erste Reihe absolut konvergent ist, sei nach Wurzelkriterium: $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{\| a_k \| } \leq q<1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} (a_k) \end{eqnarray}$ ist doch im Prinzip die selbe Folge wie $\begin{eqnarray} (a_k+_1) \end{eqnarray}$ . Also gilt doch genau so $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{\| a_k+_1 \| } \leq p<1 \end{eqnarray}$ Daraus folgere ich $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{\| \sqrt{a_ka_k+_1} \| } = \sqrt[k]{\sqrt{a_k} }\sqrt[k]{\sqrt{a_k+_1} } = \sqrt{\sqrt[k]{a_k} } * \sqrt{\sqrt[k]{a_k+_1} } = \sqrt{q} * \sqrt{p} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p,q<1 \Rightarrow \sqrt{qp} =x<1 \end{eqnarray}$ Die Wurzel aus dem Produkt zweier Zahlen die kleiner 1 sind ist immer kleiner 1.
23.12.2015, 14:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und herzlich Willkommen im Forum das funktioniert so nicht, da die Aussage, dass $\begin{eqnarray} q<1 \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{\|a_k\|}\leq q \end{eqnarray}$ für fast alle $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ nur eine hinreichende Bedingung für absolute Konvergenz ist. Es gibt auch Reihen, für die das nicht zutrifft, die aber trotzdem konvergent sind. Zum Beispiel $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ . Letztendlich wird es wohl auf das Majorantenkriterium hinauslaufen. Mehr möchte ich dazu aber erstmal nicht sagen. Ich denke, da kannst du selbst drauf kommen.
23.12.2015, 18:10	Hausen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man denn auch so argumentieren: $\begin{eqnarray} \| a_k \| \leq b_k<\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \| a_k \| \end{eqnarray}$ muss ja (weil absolut konvergent) kleiner als eine Folge $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ sein die eine konvergente unendliche Reihe bildet. Diese Folge $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ will ich garnicht explizit bestimmen sondern nur ausnutzen, dass sie zwangsläufig kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ sein muss da sie sonst keine unendliche konvergente Reihe geben würde. Genauso muss dann doch auch $\begin{eqnarray} a_k+_1\leq b_k+_1<\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ sein. Wenn ich jetzt sage $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{k}\frac{1}{k}}=\sqrt{\frac{1}{k^2}} =\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ und genauso sage ich $\begin{eqnarray} \sqrt{b_kb_k+_1}=b \end{eqnarray}$ Dann muss doch immer noch $\begin{eqnarray} b<\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ sein. Dann kann ich doch genau so $\begin{eqnarray} \sqrt{a_ka_k+_1}=a \end{eqnarray}$ bilden und behaupten $\begin{eqnarray} a\leq b<\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Dann wäre b meine konvergente Majorante. Oder ist das schwachsinn auf gut Deutsch? Ein anderer Weg den ich mir überlegt habe ist: $\begin{eqnarray} \sqrt{a_ka_k+_1} =\sqrt{a_ka_ka}=\sqrt{a_k}\sqrt{a_k}\sqrt{a}=\sqrt{a_ka_k}\sqrt{a} \leq \sqrt{a_ka_k}\sqrt{a+1} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty }\sqrt{a_ka_k}\sqrt{a+1}=\\=\sqrt{a+1}\sum\limits_{k=0}^{\infty }\sqrt{a_ka_k}=\sqrt{a+1}\sum\limits_{k=0}^{\infty }\sqrt{a_k^2}=\sqrt{a+1}\sum\limits_{k=0}^{\infty }a_k \end{eqnarray}$ Also eine konvergente Majorante.... kgV: Zeilenumbruch zwecks besserer Lesbarkeit eingefügt
23.12.2015, 20:16	Hausen	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist mir nach längerem Überlegen doch noch eine weitere Möglichkeit eingefallen $\begin{eqnarray} \| a_k \|\geq \| a_k+_1 \| \end{eqnarray}$ ? da a_k kleiner als 1/k ist (sonst hätten wir mit 1/k eine divergente Minorante) und 1/k mit steigendem k kleiner wird, muss a_k mit steigendem k ebenfalls kleiner werden, sonst wäre a_k auch keine Nullfolge womit die Reihe schon garnicht konvergent wäre. Daraus ergibt sich die Abschätzung: $\begin{eqnarray} \sqrt{a_ka_k+_1} \leq \sqrt{a_ka_k}= \sqrt{a_k^2}=a_k \end{eqnarray}$ also ist a_k die konvergente Minorante und somit die Reihe konvergent?
23.12.2015, 23:03	lolyolorofl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erstmal ein Grund, warum das vorletzte Argument nicht so stimmen kann: nimm als Beispiel $\begin{eqnarray} a_1=23,a_2=10^6, a_n=0\quad\forall n\geq 3 \end{eqnarray}$ . Diese Reihe konvergiert absolut, aber es gilt nicht $\begin{eqnarray} a_k<\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ . In der letzten Idee ist schon das wichtigste drin. Vergiss allerdings alles, was mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ zu tun hat. Nehmen wir an, du hast eine absolut konvergente Reihe, deren folgenglieder monoton fallend sind. Dann gilt tatsächlich $\begin{eqnarray} \sqrt{\|a_n a_{n+1}\|}\leq \|a_n\| \end{eqnarray}$ und die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray}$ ist eine konvergente Majorante. Allerdings musst du beachten, dass die Folgenglieder einer absolut konvergenten Reihe nicht automatisch monoton fallend sind (siehe auch Beispiel oben). Nun solltest du zeigen, dass man das Problem auf eine monoton fallende Reihe zurückführen kann (Stichwort "umordnen"). Beachte dabei, dass die zu zeigende Konvergenz automatisch absolut ist!
23.12.2015, 23:04	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, beide Ideen sind leider Blödsinn. Man kann nicht angeben, wo die summierte Folge größer oder kleiner als 1/k ist. Das kann gerne an unendlich vielen Stellen falsch sein. Denke mal an die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Edit: Die Idee mit der Umordnung gefällt mir auch sehr gut, aber klappt das wirklich? Die Reihe mit der Wurzel könnte dann doch a priori ein anderes Konvergenzverhalten haben.
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23.12.2015, 23:15	lolyolorofl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ja da hast du allerdings recht. Dann muss man hier wohl doch etwas vorsichtiger sein. Dann wohl eher zeigen, dass die Reihe mit den Folgengliedern $\begin{eqnarray} \operatorname{max}\{\|a_k\|,\|a_{k+1}\|\} \end{eqnarray}$ ebenfalls konvergiert.
23.12.2015, 23:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht einfach die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bemühen?
23.12.2015, 23:33	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man natürlich machen. Sehe aber jetzt nicht so den immensen Vorteil gegenüber AMGM, was ich vorgeschlagen hatte
23.12.2015, 23:43	Hausen	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetz bin ich verwirrt, also ich bleib bei meinem Ansatz mit der monoton fallenden Folge und soll netzt noch irgendwie umordnen und zeigen das das auch für nicht monoton fallende Folgen klappt? Oder ich soll mit AMGM die Folge nach oben abschätzen? Darf ich sagen, dass wenn die Reihe über a_k absolut konvergent ist das selbe auch für die Reihe "nur" über a_k+1 auch konvergiert. Dann hätte ich durch die Abschätzung AMGM 1/2* die Reihe a_k + Reihe a_k+1.
24.12.2015, 00:00	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das darfst du sagen. Es fehlt ja einfach nur ein Summand
24.12.2015, 00:20	Hausen	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, dann habe ich ja eine der möglichen Lösungen. Also ich schätze die Folge der Reihe nach oben durch AMGM ab, ziehe 1/2 aus der Summe und schätze nochmals mit Dreiecksungleichung nach oben ab um zwei Reihen zu bilden von denen wir ja sagen können das sie Konvergent sind. Also habe ich 1/2* (Reihe \| a_k \| + Reihe \| a_k+1 \| )und das ist Konvergent.Damit habe ich meine konv Majorante gefunden.
24.12.2015, 00:53	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dreiecksungleichung solltest du eigentlich nicht mehr brauchen. Beache, dass du AMGM bereits auf die Beträge der Folgenglieder anwenden musst, da Positivität Voraussetzung ist.
24.12.2015, 01:20	Hausen	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, okay stimmt dann lasse ich diesen Teil weg. Vielen Dank nochmal an alle und frohe Weihnachten wers feiert !

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