Verknüpfungstafel

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23.12.2015, 15:37	DerPinguinagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfungstafel Meine Frage: Hallo erstmal, ich bin neu hier. Bin bei einer Uni-Hausaufgabe hängengeblieben und bräuchte mal eure Hilfe. Ich habe mal versucht die Aufgaben zu lösen (siehe unten) und brauche fallnötig beim Lösen der Aufgaben Hilfe. Aufgabe(n): Sei V ein zweidimensionaler F2-Vektorraum. a) Bestimmen Sie die Anzahl der Basen von V . Für a) habe ich 3 Basen raus. b) Beschreiben Sie die Gruppe AutF2 (V ) explizit durch Angabe einer Gruppentafel. Wenn man drei Basen hat existieren insgesamt 6 Abbildungen, d.h. man hat z.B. folgende Abbildungen. A1: (v1,v2) --> (v1,v2), A2: (v1,v2) --> (v1,v3). A3: (v1,v2) --> (v2,v1), A4: (v1,v2) --> (v2,v3), A5: (v1,v2) --> (v3,v1), A6: (v1,v2) --> (v3,v2) (Alle verschieden) Durch Ausschreibung der Abbildungen A1-A6 und Multiplikation aller Möglichkeiten Ai* Aj=Ak habe ich folgende Tabelle rausbekommen: (Hinweis: Horizontal geht die Tabelle von A1-A6 und vertikal A1-A6 (insgesamt eine 6x6 Tabelle)) Zeile 1. A1,A2,A3,A4,A5,A6 Zeile 2. A2,A1,A5,A6,A3,A4 Zeile 3. A3,A4,A1,A2,A6,A5 Zeile 4. A4,A3,A6,A6,A1,A2 Zeile 5. A5,A6,A2,A1,A4,A3 Zeile 6. A6,A5,A4,A3,A2,A1 Kann mir einer von euch sagen, ob meine Lösung richtig ist? Wäre über eine schnelle Antwort sehr dankbar. Vielen Dank im Voraus! Meine Ideen: Siehe oben! Braucht ihr meine Notizen einfach mal anschreiben!
23.12.2015, 18:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die 3 von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ verschiedenen Vektoren von $\begin{eqnarray} \mathbb F_2^2 \end{eqnarray}$ und die sich daraus ergebenden $\begin{eqnarray} 6=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot 2! \end{eqnarray}$ Basen würde ich einfach aufschreiben. b) Die Abbildungen, die eine Basis auf eine andere Basis abbilden, sind lineare Abbildungen, die kann man also am besten als Matrizen schreiben. c) Zwei Tafeln miteinander vergleichen ist mir zu langweilig. Das darfst Du selbst machen. https://de.wikipedia.org/wiki/S3_(Gruppe)
23.12.2015, 20:47	DerPinguinagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst Du zufällig eine Gruppe die isomorph zu AutF2(V) ist?
24.12.2015, 10:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso "zufällig" ? Hier Verknüpfungstafel habe ich mich ausführlich darüber ausgelassen, warum $\begin{eqnarray} Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3 \end{eqnarray}$ ist. Tipp: es gibt nur 2 Gruppen der Ordnung 6, die abelsche (zyklische) $\begin{eqnarray} C_6 \end{eqnarray}$ und die nichtabelsche $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ .
28.12.2015, 16:42	DerPinguinagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal vielen Dank für die Hilfe. Könntest du vielleicht noch einmal hier rüber gucken Frage zum Untervektorraum
29.12.2015, 12:32	DerPinguinagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis! Könntest du mal schauen, ob mein Beweis für: $\begin{eqnarray} Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3 \end{eqnarray}$ richtig ist? $\begin{eqnarray} A_{1}A_{1}=A_{1} \Rightarrow f(A_{1}A_{1})=f(A_{1})f(A_{1}) = ee=1 \end{eqnarray}$ Injektiv+surjektiv=bijektiv Injektiv: $\begin{eqnarray} A_{1}=A^{-1}_{1} \Rightarrow e=e^{-1}=e-e^{-1}=0 \Rightarrow A_{1}=A^{-1}_{1} \end{eqnarray}$ Subjektiv: Für ein $\begin{eqnarray} e\in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e=f(A_{1} \Rightarrow \exists ! A_{1}zu e \Rightarrow f ist surjektiv \end{eqnarray}$
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30.12.2015, 12:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht. Es gibt 6 Automorphismen, die Gruppe ist nicht abelsch, also ist die Gruppe isomorph zur $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ . Es gibt nichts weiter zu beweisen.
30.12.2015, 12:52	DerPinguinagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab gedacht, man muss es über den Homomorphismus zeigen. Ich muss es ja für die Übungsaufgabe zeigen.
30.12.2015, 13:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
warum ? welcher Homomorphismus ? und wenn es so sein müsste, hättest Du es nicht gezeigt.
05.01.2016, 19:11	DerPinguinagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir helfen, wie ich zeige, dass $\begin{eqnarray} Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3 \end{eqnarray}$ ist? Muss das morgen abgeben. $\begin{eqnarray} <br /> f(A_1)=e,<br /> <br /> f(A_2)=s_1,<br /> <br /> f(A_3)=s_3,<br /> <br /> f(A_4)=d,<br /> <br /> f(A_5)=d_2<br /> <br /> f(A_6)=s_2.<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ich hätte das mit dem Homomorphismus so versucht: $\begin{eqnarray} f(A_{1}A_{1})=A_{1}A_{1}=A_{1}=A_{1}A_{1}=f(A_{1})f(A_{1}) <br /> <br /> und A_{1}=e \end{eqnarray}$ weiterhin: $\begin{eqnarray} f(A_{1}A_{2})=A_{1}A_{2}=A_{2}=A_{1}A_{2}=f(A_{1})f(A_{2})<br /> <br /> A_{2}=s_1 \end{eqnarray}$ und das zeige ich für alle i,j: $\begin{eqnarray} $ \phi(A_i\circ A_j)=\phi(A_i)\circ\phi(A_j), $ \end{eqnarray}$
05.01.2016, 19:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
A2A4=A6, A4A2=A3 steht in deiner Gruppentafel. Also haben wir eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 6, das ist die $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ . (punkt , aus, ende q.e.d.)

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