Leibniz Kriterium für Reihen Beweis, Partialsummen aufteilen

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Eddy19273 Auf diesen Beitrag antworten »
Leibniz Kriterium für Reihen Beweis, Partialsummen aufteilen
Hallo,

ich habe gerade den Beweis des Leibniz Kriteriums (siehe Wikipedia de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium#Beweis, Hyperlink darf ich nicht posten) nachvollzogen und verstehe ihn soweit auch. Allerdings weiß ich nicht, warum ich zuerst die Konvergenz der geraden Partialsummen zeige, dann die der ungeraden (welche gleich dem lim der geraden ist) und daraus folgern darf, dass die gesamte Reihe gegen diesen limes konvergiert.
Intuitiv ist das klar, aber ich verstehe nicht, wie ich die Teil-Partialsummenfolgen zu betrachten habe. Sind das dann so eine Art Teilfolgen, die gegen denselben Häufungspunkt konvergieren? Darf ich im Allgemeinen sagen, dass, wenn die geraden und ungeraden Teil-Partialsummenfolgen konvergieren, auch die gesamte Reihe konvergiert?

Danke im Vorraus smile
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz Kriterium für Reihen Beweis, Partialsummen aufteilen
Hey,

das Leibnitzkriterium sagt ja etwas über alternierende Reihen aus. Bei solchen Reihen ist es oft sinnvoll, die ungeraden und geraden Elemente der Folge, über deren Elemente summiert wird, zu betrachten, da du so alle Elemente der Folge mit einbeziehst (da alle Elemente ja entweder gerade oder ungerade sind). Du zerlegst die Folge also in die Teilfolgen der ungeraden und geraden Elemente und zeigst, dass diese beiden Teilfolgen konvergieren.

Nun ist es so, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn all ihre Teilfolgen auch konvergieren. Diese Teilfolgen haben dann (wenn die Folge konvergiert) alle denselben Grenzwert, gegen den die Folge dann konvergiert.

Auf deine Frage bezogen: Wenn die ungerade und die gerade Teilfolge konvergiert, konvergiert auch die ganze Folge.

Kannst ja mal versuchen, das zu beweisen Augenzwinkern

Viel Erfolg smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz Kriterium für Reihen Beweis, Partialsummen aufteilen
Zitat:
Original von MeMeansMe
Auf deine Frage bezogen: Wenn die ungerade und die gerade Teilfolge konvergiert, konvergiert auch die ganze Folge.

Kannst ja mal versuchen, das zu beweisen Augenzwinkern )


Lieber nicht. Es gilt, wenn man zusätzlich fordert, dass der Grenzwert der geraden und ungeraden Folgenglieder der gleiche ist. Ansonsten betrachte . Die geraden konvergieren gegen 1, die ungeraden gegen -1, aber die ganze Folge konvergiert offenbar nicht.
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz Kriterium für Reihen Beweis, Partialsummen aufteilen
Zitat:
Es gilt, wenn man zusätzlich fordert, dass der Grenzwert der geraden und ungeraden Folgenglieder der gleiche ist.


Tut man das denn nicht? Bei dem Beweis, auf den der Fragesteller sich bezieht, wird gezeigt, dass beide Teilfolgen denselben Grenzwert haben.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz Kriterium für Reihen Beweis, Partialsummen aufteilen
Man tut es bei Wikipedia, aber nachdem du den allgemeingültigen Satz über konvergente Teilfolgen zitierst, so wirkt das wie eine allgemeingültige Aussage.
Eddy19273 Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
Ok, dann war es also doch einfacher als gedacht- einfach die Teilfolgen der Partialsummen als ganz normale Folgen betrachten und die konvergieren gegen denselben Grenzwert, wodurch ich folgern darf, dass die gesamte Folge der Partialsummen - und damit die Reihe - gegen diesen Grenzwert konvergent ist. Vielen Dank! smile
 
 
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz Kriterium für Reihen Beweis, Partialsummen aufteilen
Zitat:
Original von IfindU
Man tut es bei Wikipedia, aber nachdem du den allgemeingültigen Satz über konvergente Teilfolgen zitierst, so wirkt das wie eine allgemeingültige Aussage.


Stimmt, es war nicht eindeutig formuliert. Ich bezog mich implizit auf den Artikel auf Wikipedia, aber hätte es deutlicher schreiben müssen.
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