Injektivität und Surjektivität formal beweisen/widerlegen

25.12.2015, 17:18

-asdfg-

Injektivität und Surjektivität formal beweisen/widerlegen

Meine Frage:
Hi. Wie "beweise" ich formal und aufgrund der Definition, dass eine Funktion injektiv oder surjektiv ist?

Meine Ideen:
Die Definitionen kenn ich; z.B. für injektiv: $\begin{eqnarray*} \forall x_{1}x_{2} \in D: f(x_{1}) = f(x_{2}) \rightarrow x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$ .

Die einzige Möglichkeit die mir einfällt um es zu beweisen, wäre die Umkehrfunktion zu bilden, anhand der man sieht, ob man für jedes $\begin{eqnarray*} y \in W \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ kriegt. Beispiel:

1. $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m) = 5m \end{eqnarray*}$

Dass es injektiv aber nicht surjektiv ist, hätte ich bewiesen indem ich die Umkehrfunktion gebildet hätte:

$\begin{eqnarray*} f(m) = 5m \Leftrightarrow f^-1(y) = y/5 = x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

injektiv, da für jedes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zugeordnet ist aber nicht surjektiv, da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ liegt wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein vielfaches von 5 ist.

Wäre das, gefolgt von der Negation der Definition für Surjektivität der formale Beweis? Wenn ja, liese sich die Negation der Definition für Surjektivität formulieren? Andernfalls korrigiert mich wenn mein Ansatz falsch ist. Tue mich generell mit formalen Aussagen etwas schwer.

25.12.2015, 19:01

Mulder

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RE: Injektivität und Surjektivität formal beweisen/widerlegen
Umkehren kann man eine Abbildung nur, wenn sie bijektiv ist.

Injektiv: Sei $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ Zu zeigen ist, dass dann $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist hier nun wirklich extrem banal. Wenn $\begin{eqnarray*} 5x_1=5x_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt daraus natürlich auch $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ (durch 5 teilen und so)

Um Surjektivität zu widerlegen, reicht es, ein konkretes Element anzugeben, das kein Urbild hat. Das ist hier auch nicht besonders schwierig.

25.12.2015, 22:13

-asdfg-

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RE: Injektivität und Surjektivität formal beweisen/widerlegen
Danke schonmal. Das war wirklich banal.

Aber wie würde ich denn die Surjektivität für alle $\begin{eqnarray*} y\in W \end{eqnarray*}$ beweisen bzw. widerlegen, dass es ein $\begin{eqnarray*} y\in W \end{eqnarray*}$ gibt das kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Urbild hat?

Woanders hab ich gelesen, dass man die Injektivität beweist, indem man einer Funktion einen Funktionswert zuordnet und nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöst. Wenn das eindeutig möglich ist, ist es injektiv. Wenn es nicht eindeutig ist, z.B. weil $\begin{eqnarray*} x = +- \sqrt irgendwas \end{eqnarray*}$ rauskommt, dann ist es nicht injektiv.

25.12.2015, 23:01

Mulder

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RE: Injektivität und Surjektivität formal beweisen/widerlegen

Zitat:

Original von -asdfg-
Aber wie würde ich denn die Surjektivität für alle $\begin{eqnarray*} y\in W \end{eqnarray*}$ beweisen bzw. widerlegen, dass es ein $\begin{eqnarray*} y\in W \end{eqnarray*}$ gibt das kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Urbild hat?

Simples Beispiel: Angenommen, die 1 hat ein Urbild. Dann gibt es also ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=5x=1 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch, da dann $\begin{eqnarray*} x=1/5 \end{eqnarray*}$ wäre, aber $\begin{eqnarray*} 1/5 \not \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Also hat 1 kein Urbild. Folglich ist f nicht surjektiv.

Wenn die Abbildung hingegen doch surjektiv ist, nimmt man sich ein beliebiges Element aus dem Bild und konstruiert dazu ein Urbild. Zum Beispiel. Es gibt auch hier und da andere Möglichkeiten. Man kann die komplette Thematik auch nicht innerhalb von fünf Minuten bis zur Perfektion lernen.

Hier auch nochmal ein Beispiel: Betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray*} g: \mathbb Z \to \mathbb Z \, , \, x \mapsto x+1 \end{eqnarray*}$

Ist diese Abbildung surjektiv? Ja, denn nehmen wir uns ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ so können wir leicht ein Urbild für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konstruieren. Wir setzen $\begin{eqnarray*} b:= a-1 \end{eqnarray*}$ . Auf jeden Fall ist $\begin{eqnarray*} a-1 \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Und es ist $\begin{eqnarray*} f(a-1)=(a-1)+1=a \end{eqnarray*}$ , also haben wir mit $\begin{eqnarray*} b=a-1 \end{eqnarray*}$ ein Urbild für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gefunden. Und an $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ haben wir keine näheren Voraussetzungen gestellt, außer dass a eine ganze Zahl ist. Also haben alle ganzen Zahlen auch ein Urbild. Also ist g surjektiv.

So beweist man diesen Rotz. Recht simpel meistens. Aber kommt natürlich auch immer drauf an, wie die Abbildungen aussehen. Wir betrachten hier jetzt sehr einfache Beispiele.

25.12.2015, 23:26

-asdfg-

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Ok, das ist einleuchtend.

Ich bedanke mich. Freude

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