Kegel Kugelkoordinaten

27.12.2015, 13:43

rumso

Kegel Kugelkoordinaten

Meine Frage:
Wir betrachten einen geraden Kreiskegel mit dem Grundkreisradius 4 und der Höhe 4. Sein Boden befindet sich im Koordinatenurspung, der Mittelpunkt seines Grundkörpers sei auf der negativen z-Achse
Verwenden Sie im Folgenden immer exakte Werte (keine gerundeten) und geben Sie diese in möglichst einfacher Form an.

a) Skizzieren Sie den Kreiskegel im Koordinatensystem! Zeichnen Sie dabei alle wesentlichen Maße ein!
b) A sei die Mantelfläche des gegebenen Kegels. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Ortsvektoren der Punkte der Menge an! Verwenden Sie für die Parameter Kugelkoordinaten.

Meine Ideen:
aufgabe a) ist schnell gelöst und verständlich.

b) meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} r*\sin(\theta) * \cos(\phi) \\ r*\sin(\theta) * \sin(\phi) \\ r* \cos(\theta) \end{pmatrix} \\ Grenzen:\\ -4\sqrt{2}\leq r \leq 0\\ 0\leq \phi \leq 2\pi \\ \theta= const.= arccos(\frac{-4}{-4\sqrt{2} })=\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

Was denkt ihr?

28.12.2015, 12:17

klauss

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RE: Kegel Kugelkoordinaten

Zitat:

Original von rumso
Sein Boden befindet sich im Koordinatenurspung, der Mittelpunkt seines Grundkörpers sei auf der negativen z-Achse

Es soll wohl hier eher heißen: "Seine Spitze befindet sich im Koordinatenurspung, der Mittelpunkt seiner Grundfläche sei auf der negativen z-Achse."
Andernfalls wäre es interessant, Deine Skizze zu sehen.

Im übrigen ist anzumerken:
Wenn meine Annahme zutrifft, ist in Kugelkoordinaten der Winkel $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ zu setzen.
Ferner entspricht hier die Mantellinie des Kegels dem sonstigen Kugelradius. Dieser ist immer nichtnegativ, also ist das Intervall $\begin{eqnarray*} 0 \leq r \leq 4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

28.12.2015, 12:53

rumso

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RE: Kegel Kugelkoordinaten
Also, ich habe die Aufgabenstellung nochmals überprüfen lassen und Klauss hat recht! Die Kegelspitze befinde sich im Koordinatenursprung. Somit ändert sich meine Skizze und die zugehörigen Grenzen.

Die Lösung lautet somit:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} r*\sin(\theta) * \cos(\phi) \\ r*\sin(\theta) * \sin(\phi) \\ r* \cos(\theta) \end{pmatrix} \\Grenzen:\\0\leq r \leq 4\sqrt{2}\\0\leq \phi \leq 2\pi \\ \theta= const.=\pi-arccos(\frac{4}{4\sqrt{2} })=\frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$
(theta wird ja immer von der positiven z-Achse gezählt.)

Ich denke, somit sollte die Aufgabe richtig gelöst sein.

Danke Klauss.

28.12.2015, 15:00

rumso

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RE: Kegel Kugelkoordinaten
Die obenstehende Aufgabe wurde nun durch eine Teilaufgabe erweitert:

c) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds $\begin{eqnarray*} \vec{F}=\begin{pmatrix} 0 \\ -xy \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch die Fläche A.

Dazu habe ich nun den Integralsatz nach Gauß angewendet:

Zuerst die Divergenz berechnet:

$\begin{eqnarray*} div \vec{F}=\frac{d(0)}{dx}+\frac{d(-xy)}{dy}+\frac{d(0)}{dz}=-x \end{eqnarray*}$

Jetzt wird es mal kurz interessant, weil veränderlich sind laut oberen Grenzen ja r und phi.

theta ist ja constant.

Somit ergibt sich jetzt meiner meinung nach folgende Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \int_{a}^{b} \!div \vec{F} \, dA\\ div \vec{F}: Kugelkoordinaten: -r*\sin(\theta)*\cos(\phi)\\ dA: Kugelkoordinaten: r^{2} *\sin(\theta)*dr*d\phi\\ Ergibt: \\ \int_{0}^{2\pi } \! \int_{0}^{4\sqrt{2} } \! -r^{3} *\sin^{2} (\theta)*\cos(\phi)*dr \\ Inneres Integral:\\ \sin^{2} (\theta)*\cos(\phi)*\int_{0}^{4\sqrt{2} } \! -r^{3} *dr* d\phi=-4*\sin^{2} (\theta)*\cos(\phi)\\ AußenIntegral:\\ -4*\sin^{2} (\theta)*\int_{0}^{2\pi } \! \cos(\phi)d\phi=0 \end{eqnarray*}$

Kann man das so rechnen? ist das richtig?

28.12.2015, 16:14

klauss

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RE: Kegel Kugelkoordinaten
Die Divergenz müßtest Du über das Volumen des Kegels integrieren. Das sehe ich bei Deiner Rechnung nicht. Da dann gegenüber dem Mantel noch das Innere des Kegels hinzukommt, ändert sich natürlich entsprechend die Parametrisierung.
Ich habe das mal grob gegengerechnet mit besser geeigneten Zylinderkoordinaten und bin zumindest auf das Ergebnis 0 gekommen, da auch dort das letzte Cosinus-Integral übrigbleibt.

29.12.2015, 12:11

rumso

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RE: Kegel Kugelkoordinaten
Also ich verstehe zunächst deinen gedanken die Divergenz über das Volumen zu integrieren. Nur in meinem Fall ist ja theta konstant bei 3/4 pi. Wie sehen denn dann die Integrationsgrenzen für theta aus, wenn ich das integral aufstelle?

Danke für deine hilfe, klauss.

Grüße rumso

29.12.2015, 14:58

klauss

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RE: Kegel Kugelkoordinaten
Das Ganze in Kugelkoordinaten zu rechnen, ist schon unangenehm, aber zur Übung dann doch wieder nützlich. So ganz wird man wohl nicht drumrumkommen, quasi Zylinderkoordinaten zu benutzen, da die 3. Komponente der Parametrisierung beim Volumen variabel wird.
Ich habe mal folgenden Ansatz für das Volumenintegral ermittelt, der sozusagen Kugel- und Zylinderkoordinaten kombiniert:

Koordinatentransformation $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot r \cdot cos\phi \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot r \cdot sin\phi\\ z \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wertebereiche:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \phi \leq 2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq r \leq 4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -4 \leq z \leq -\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot r \end{eqnarray*}$

Zur Kontrolle solltest Du jetzt vorab für die Koordinatentransformation die Jacobi-Determinante bestimmen und dann das Dreifachintegral ausrechnen. Bei mir ist das richtige Kegelvolumen rausgekommen.
Danach sollte es auch mit der Divergenz klappen.

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